人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法教案

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利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．
解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ ，，
，，
．
设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面EFG，得，，于是
，．
∴
整理得：，解得．
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
∴
故点B到平面EFG的距离为．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．
分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．
解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有
，，，．
∴ ，，．
设n是直线l方向上的单位向量，则．
∵ n，n，
∴ ，解得或．
取n，则向量在直线l上的投影为
n··．
由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．
向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：
(1)
其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，， 。为二面角P-MN-Q（见图1）。
图1
公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：
以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得
，，。
分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。
由计算知，的坐标分别为
，，
于是，
。
公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。
例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。
求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。
解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。
图2
由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，
图3
，
即
。
解得
， 。
当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。
例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。
解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为：
， ， ，
因此它们均为正五边形的内角。所以
。
图4
所以，由公式（1）知
，
或
。
因此，，或。
如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。
利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。
设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：
。
再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则
， ， 。
仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以
。
但是，
，
从而



，
或