人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法学案设计

3. 2立体几何中的向量方法

教学目标：

1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
2. 
   掌握向量作为工具解决立几问题的方法
3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质

重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法

教学过程：

相关知识与能力：

一.空间距离的计算

1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=||

2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,Bb

则异面直线a、b间的距离

即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。

3.点（或线）到平面的距离：

1）设

P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离

2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。

二.空间角度的计算

1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角

   α=<，>或α=л -<，>    （0<α≤）

cos<，>=或   cosα=    （0<α≤）

2. 斜线P0P与平面α所成的角θ

3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<>  或  （如何确定？）

典例分析：

例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦；

（3）求FH的长。

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）

F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）

∵     ∴

则即

（2）     ∴

由（1）知

故EF与所成角的余弦值为

（3）∵ H为C1G1的中点    ∴ H（0，），又F（）

∴     即

例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A、B1、E、D1的坐标；

（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。

解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）

（2）∵

∴ ，

∴ 与所成的角的余弦值为

例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG

依题意得A（），P（0，0，a），E（）

∵ 底面ABCD是正方形     ∴ G是此正方形的中心

故点G的坐标为（）且，

∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB

∴ PA//平面EDB

（2）证明：依题意得B（），

又，故

∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD

（3）解：设点F的坐标为（），，则

∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为

巩固练习：

1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，

（1）求证：平面ADE；

（2）

作业布置：

如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；

（2）求二面角的余弦值。

教学反思：

在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.

3.2立体几何中的向量方法

课前预习学案

预习目标：

1. 向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
2. 
   向量作为工具解决立几问题的方法

预习内容：

一.空间距离的计算

1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离                 

2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,Bb

则异面直线a、b间的距离

即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。

3.点（或线）到平面的距离：

1）设

P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离

2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。

二.空间角度的计算

1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角

   α=<，>或α=л -<，>    （0<α≤）

cos<，>=或   cosα=    （0<α≤）

2. 斜线P0P与平面α所成的角θ

3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<>  或  （如何确定？）

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

学习目标：

1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法

1掌握向量作为工具解决立几问题的方法

重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法

学习过程：

例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦；

（3）求FH的长。

例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A、B1、E、D1的坐标；

（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。

例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

当堂检测：

1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，

（1）求证：平面ADE；

（2）

课后练习与提高

1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；

（2）求二面角的余弦值。