数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念导学案

3.1　数系的扩充和复数的概念

3.1.1　数系的扩充和复数的概念

问题导学

一、复数的有关概念

活动与探究1

已知mR，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．

迁移与应用

已知mR，复数z＝lgm＋(m2－1)i，当m为何值时，

(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．

解决复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋bi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的范围，但若已知的复数z不是a＋bi(a，bR)的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．

二、复数相等的充要条件及应用

活动与探究2

已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠，求整数a，b．

迁移与应用

1．已知复数z1＝a＋bi(a，bR)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，yR)．当z1＝z2时x，y的值分别为(　　)．

A．x＝3且y＝5

B．x＝2且y＝0

C．x＝3且y＝0

D．x＝2且y＝5

2．已知关于实数x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．

复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据，多用来求解参数．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．(1)a＋bi(a，bR)　虚数单位　全体复数　(2)a＋bi(a，bR)　a与b

预习交流1　(1)提示：不一定．只有当a，b都是实数时，a是复数的实部，b是复数的虚部．

(2)3　－2

2．a＝c且b＝d

预习交流2　－1　－1

3．(1)b＝0　b≠0　a＝0且b≠0

预习交流3　(1)提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判断两个复数相等或不相等．

(2)提示：不一定是纯虚数．如当b＝0时，bi＝0为实数．

(3)1　－1

课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．

解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3．

(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．

(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．

迁移与应用　解：(1)z为实数时，m需满足解得m＝1．

(2)z为虚数时，m需满足解得m＞0且m≠1．

(3)z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数．

活动与探究2　思路分析：依据集合关系，先确定集合元素满足的关系式，进而利用复数相等的充要条件，求出a，b．

解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i或8＝(a2－1)＋(b＋2)i．

(1)当(a＋3)＋(b2－1)i＝3i时，得

∴或

经检验，不合题意，舍去．∴

(2)当8＝(a2－1)＋(b＋2)i时，得

∴或

由(1)知不合题意，舍去，∴

综上，或

迁移与应用　1．A　解析：由已知z1＝2＋i，∴当z1＝z2时解得x＝3且y＝5．

2．解：由①可得解得③

把③代入②得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i且a，bR，

∴解得

∴解得

当堂检测

1．在，，＋2i，0，－2i－1这几个数中，虚数的个数为(　　)．

A．1  　　B．2 　　 C．3 　　 D．4

答案：C　解析：其中，＋2i，－2i－1是虚数，故选C．

2．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是(　　)．

A．2－2i 　　 B．2＋i 　　 C．　　  D．

答案：A　解析：的虚部是2．化为，对应实部为－2．∴新复数为2－2i．

3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)．

A．－1 　　 B．0 　　 C．1　　  D．－1或1

答案：A　解析：由已知可得解得x＝－1．

4．(1)若a－2i＝bi＋1，则a2＋b2＝__________．(a，bR)

答案：5　(2)3　3　解析：(1)∵a－2i＝bi＋1，

∴a＝1，b＝－2，

∴a2＋b2＝12＋(－2)2＝5．

(2)若x－y＋(y－1)i＝2i，则x＝__________，y＝__________．(x，yR)

答案：由x－y＋(y－1)i＝2i得∴

5．复数z＝m＋(m2－1)i是负实数，则实数m的值为__________．

答案：－1　解析：由已知得解得m＝－1．