高中数学3.1数系的扩充和复数的概念学案设计

数系的扩充与复数的引入复习指导

          『重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．

　　　　　『难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．

　『复习过程指导』

在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．

在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：

　　　一．数学思想方法总结

1数学思想方法之一：类比法

　（1）复数的运算

复数代数形式的加法、减法运算法则

复数代数形式的乘法运算运算法则：

显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．

（2）复数的几何意义

我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：

复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是：

复数集＝复平面内的点

　　　　　　复数集＝平面向量

例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点

位于　(    )

(A) 第一象限     (B) 第二象限    (C) 第三象限   (D)第四象限

解答：复数＋(1＋i)2＝

　　　＝

因为复数对应着直角坐标平面内的点，

　　　　　故在第二象限，答案为B．

　　　　此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．

例2．非零复数分别对应复平面内向量，若=

则向量与的关系必有（   ）

A ．=   B．   C ．   D．共线

解答： 由向量的加法及减法可知：

　　　　　＝

　　　　　　　＝ 　　　　

由复数加法以及减法的几何意义可知：

　对应的模

　对应的模

　　　　　　又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量　

　　　　　　所以四边形OACB是正方形

　　　　　　因此，故答案选B．

　　注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义

（3）复数的化简

虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．

例３（2005高考天津卷理(2)）若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

（A）-2 　 　 (B)4   　　(C)  -6    　 (D)6

解答：由＝＝

＝　

　因为复数是纯虚数

　　　　所以且

　　　　解得

　　　　故答案选C．

　　注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝

　　这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，

2．数学思想方法之二　　转化法

　　　　　我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．

　　　　　基础知识：复数

例４（2005高考北京卷（9））若 , ，且为纯虚数，则

实数a的值为          ．

　解答：＝＝

因为为纯虚数

所以且．解得

　　　例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设、、、，若为实数，则，

（A）（B）

（C）（D）

　解答：　由　　

　　　因为 为实数，

　　　所以其虚部，即

　　　故答案选C．

这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．

类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．

　　二．解题规律总结

　　　１有关虚数单位的运算及拓展

虚数的乘方及其规律：，＝－１，，，……（）

拓展（1）任何相邻四个数的和为０；

　　（2）指数成等差的四个数的和为０；　

例如：＝０

　　　　　　　　（3）连续多个数相加的规律．　

　　　　　　　 例6．求…的值

　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997项

　　　　　　由于1997＝4499＋1

　　　　　　由于连续4个的和等于0

　　　　　　因此原式＝＝－1

　2．有关复数的几个常用化简式

       ，，

例7（2005高考重庆2）．　　　　（　　）                

A．　　B．－　　C．　　D．－

　　　解答：

　　　　　故答案选A

　　　　　　3．有关复数的综合运算

　　　　　例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）

　　解法一．设，则

　　　由于

　　　＝＝

所以＝

　　　根据复数的相等得

　　　解得

　　　因此，即为所求．

　　　　　　　解题评注：（1）设复数的代数形式（）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（＝　　）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；

　　　　　三．高考命题趋势

            　从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．