高中人教版新课标A第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理练习题

这是一份高中人教版新课标A第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(精选考题·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则csB＝( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),3)
解析：依题意得0°答案：D
2．(精选考题·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝eq \r(3)bc，sinC＝2eq \r(3)sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由sinC＝2eq \r(3)sinB可得c＝2eq \r(3)b，由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，于是A＝30°，故选A.
答案：A
3．(精选考题·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( )
A.eq \f(16,27) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(3,4)
解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(\r(2),3)，由余弦定理得CE＝CF＝eq \r(AE2＋AC2－2AC·AEcs45°)＝eq \f(\r(5),3)，所以cs∠ECF＝eq \f(CE2＋CF2－EF2,2CE·CF)＝eq \f(4,5)，
所以tan∠ECF＝eq \f(sin∠ECF,cs∠ECF)＝eq \f(\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2),\f(4,5))＝eq \f(3,4).
答案：D
4．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq \r(2)且B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq \r(2)，
∴lgeq \f(a,c)＝lgsinB＝lgeq \f(\r(2),2).∴eq \f(a,c)＝sinB＝eq \f(\r(2),2).
∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq \f(π,4)，由c＝eq \r(2)a，
得csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(3a2－b2,2\r(2)a2)＝eq \f(\r(2),2).
∴a2＝b2，∴a＝b.
答案：D
5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋eq \r(3) B．3＋eq \r(3)
C.eq \f(3＋\r(3),3) D．2＋eq \r(3)
解析：2b＝a＋c，eq \f(1,2)ac·eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，b2＝a2＋c2－2ac·eq \f(\r(3),2)⇒b2＝eq \f(4＋2\r(3),3)⇒b＝eq \f(3＋\r(3),3).
答案：C
6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cs2A＝eq \f(1,2)，则( )
A．b＋c＝2a B．b＋c<2a
C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a
解析：由sin2A－cs2A＝eq \f(1,2)，得cs2A＝－eq \f(1,2)，
又A是锐角，所以A＝60°，于是B＋C＝120°.
所以eq \f(b＋c,2a)＝eq \f(sinB＋sinC,2sinA)＝eq \f(2sin\f(B＋C,2)cs\f(B－C,2),\r(3))
＝cseq \f(B－C,2)≤1，b＋c≤2a.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．(精选考题·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＝6csC，则eq \f(tanC,tanA)＋eq \f(tanC,tanB)的值是________．
解析：解法一：取a＝b＝1，则csC＝eq \f(1,3)，
由余弦定理和c2＝a2＋b2－2abcsC＝eq \f(4,3)，
∴c＝eq \f(2\r(3),3).
在如图所示的等腰三角形ABC中，
可得tanA＝tanB＝eq \r(2)，
又sinC＝eq \f(2\r(2),3)，tanC＝2eq \r(2)，
∴eq \f(tanC,tanA)＋eq \f(tanC,tanB)＝4.
解法二：eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＝6csC得，eq \f(a2＋b2,ab)＝6·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
即a2＋b2＝eq \f(3,2)c2，
∴eq \f(tanC,tanA)＋eq \f(tanC,tanB)＝tanCeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(csA,sinA)＋\f(csB,sinB)))＝eq \f(sin2C,csCsinAsinB)
＝eq \f(2c2,a2＋b2－c2)＝4.
答案：4
8．(精选考题·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(2)，b＝2，sinB＋csB＝eq \r(2)，则角A的大小为________．
解析：由sinB＋csB＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(2)得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝1，所以B＝eq \f(π,4).由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得sinA＝eq \f(asinB,b)＝eq \f(\r(2)·sin\f(π,4),2)＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)(舍去)．
答案：eq \f(π,6)
9．(精选考题·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝eq \r(2)，∠ADB＝135°.若AC＝eq \r(2)AB，则BD＝________.
解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝eq \f(1,3)a，CD＝eq \f(2,3)a，所以根据余弦定理可得b2＝(eq \r(2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \r(2)×eq \f(2,3)acs45°，c2＝(eq \r(2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a))2－2×eq \r(2)×eq \f(1,3)acs135°，由题意知b＝eq \r(2)c，
可解得a＝6＋3eq \r(5)，所以BD＝eq \f(1,3)a＝2＋eq \r(5).
答案：2＋eq \r(5)
10．(精选考题·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq \f(1,2)DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－eq \r(3)，则∠BAC＝________.
解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝eq \f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq \r(3)，所以DC＝2(eq \r(3)－1)，又因为BD＝eq \f(1,2)DC，所以BD＝eq \r(3)－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝eq \f(1,2)DC·AE＝3－eq \r(3)，所以AE＝eq \r(3)，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝eq \r(3)，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2eq \r(3)－3，所以tan∠ACE＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq \r(3)，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．(精选考题·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝aeq \f(1,tanA)＋beq \f(1,tanB)，求内角C.
解：由a＋b＝aeq \f(1,tanA)＋beq \f(1,tanB)及正弦定理得
sinA＋sinB＝csA＋csB，
即sinA－csA＝csB－sinB，
从而sinAcseq \f(π,4)－csAsineq \f(π,4)＝csBsineq \f(π,4)－sinBcseq \f(π,4)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－B)).
又0故A－eq \f(π,4)＝eq \f(π,4)－B，A＋B＝eq \f(π,2)，
所以C＝eq \f(π,2).
12．(精选考题·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，
故csA＝－eq \f(1,2)，又A∈(0，π)，故A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝eq \f(1,2).
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形．
13．(精选考题·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cs∠ADC＝eq \f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq \f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq \f(1,2)，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sinB)，
∴AB＝eq \f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq \f(10sin60°,sin45°)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6).
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