必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计

这是一份必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1. 通过二次函数图像性质与一元二次方程及不等式的关系的复习，巩固数形结合的思想方法.
2. 通过实际问题的解决，发展学生数学建模，数学抽象的核心素养.
二、教学重难点
1. 二次函数的图像及其性质.以及二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟悉三个二次的相互转化和应用.
2. 数学结合的思想方法与数学抽象的核心素养的培养.
三、教学过程
1.知识点回顾
1.1熟悉二次函数的解析式的三种形式，尤其要熟悉配方
一般式：
顶点式：，顶点坐标
两点式：当时，，
1.2二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系
2.典例回顾：
（1）求方程的解，并分别求不等式与的解集.
解析：梳理二次函数，方程的根，不等式的解集的关系.
解：方程可以化为：即得
从而也可以得到二次函数的示意图，或者得到二次函数的示意图：
求的解集，就是求二次函数在时的自变量的集合，易得：
不等式的解集为：
同理：不等式的解集为：
方法总结：二次函数的图像与x轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的根，而相应不等式可以根据函数值的正负来确定x的取值范围，二次函数是主干，一元二次方程和不等式就像它的两翼.
（2）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个，为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
解：设这批削笔器每一个的销售价格为（），
则每天销售量为
设销售收入为，
当时，得，
，又
所以.
答：这批削笔器的销售价格应该定在.
方法总结：设未知数，根据题意写出函数，不等式，求解实际问题. 以二次函数为例为建立数学模型解决实际问题的学习打下基础.
（3）当取何值时，一元不等式对一切实数都成立？
解： = 1 \* GB3 ①若，则即对一切实数都成立.
= 2 \* GB3 ②若，则二次函数的图像开口向上，函数值不可能恒为负数，对一切实数不可能恒成立.
= 3 \* GB3 ③若，则二次函数的图像开口向下，函数值恒为负数时，函数图像和x轴无交点，即对一切实数恒成立时
即解得：.
综上所得：时，一元不等式对一切实数都成立.
方法总结：关于x的含参的不等式，要关注二次项系数是否为0，根据函数的图像性质对不等式恒成立问题分类讨论.
【活动预设】通过解题重新梳理二次函数与二次方程不等式的解的关系. 老师在教学中也可以指出二次函数的零点的概念，为后面的学习做铺垫.
【设计意图】巩固数形结合的解题方法. 在典例回顾（3）中提升学生的数学抽象思维能力.
3.反思提升：
二次函数和一元二次方程，不等式之间的关系密切，二次函数的图像和性质决定了对应的一元二次方程的根和不等式的解集.所以，二次函数的图像和性质成为重要的解题依据.那么除了上面回顾的典型例题，对于二次函数的应用，还有哪些主要的题型呢？
题型一、利用二次函数图像性质解函数值的范围问题.
例1.已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
解：函数图像开口向上，对称轴方程为：，
当时，
当时，函数值y随着的增大而减小，时，
当时，函数值y随着的增大而增大，时，
函数值y组成的集合为：.
方法总结：确定的二次函数在确定的区间中的函数值变化问题，一看函数的开口方向，二看函数的对称轴，三看给定区间上的函数单调性.
变式1. 已知函数，当时，其中为常数，求函数值y组成的集合.
解：，对称轴为
= 1 \* GB3 ①当时，函数在上递增. ，
为所求.
= 2 \* GB3 ②当时，即时，函数在上递减. ，为所求.
= 3 \* GB3 ③当时，即时，当时函数递减，当时函数递增. 时，函数值，为与中的最大者.
当时，区间关于对称轴对称，，
为所求.
当时， ，为所求
当时， ，为所求
变式2. 已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
变式3. 已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
变式2函数在动，区间确定，需要讨论函数的对称轴和区间的位置关系，解法和变式1相似，变式3，函数和区间都在动，函数值取值范围又该如何分类讨论呢？请同学们课后完成解答.同学之间可以互相讨论交流.
方法总结：二次函数在给定的区间中的函数值变化问题，一看函数的开口方向，二看函数的对称轴，三看给定区间上的函数单调性.如果有参数，记得分类讨论.
【活动预设】通过定函数定区间，定函数动区间，动函数定区间，动函数动区间的二次函数值域问题求解，掌握如何利用图像性质解题.
【设计意图】巩固数形结合与分类讨论的思想方法.
题型二、一元二次方程根的分布问题
例2.若方程的两实根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求实数m的集合.
解：记，当时，
由于的图像开口向上，根据题意做出二次函数示意图.
所以，即解得：.
方法总结：由一元二次方程根的分布求参数的取值范围问题，可以转为二次函数图像与x轴的交点位置问题。通过二次函数的开口方向以及与x轴的交点位置，进行穿根作草图，写出不等关系式解题.
变式.（2007年广东卷理科数学第20题改编题）已知是实数，方程，在区间上有根，求的取值范围.
解析：令，当时，.
（1）当时，原方程化为，
（2）当时，
= 1 \* GB3 ①若有一个根在区间上，有一个根在区间外，则：
得
= 2 \* GB3 ②若有两个根（包括两相等根）在区间上，则
解得：或
综上可得的取值范围是：
【活动预设】引导学生将方程根的问题转化为函数图像与x轴的交点问题，为后面函数的零点的教学埋下伏笔.同时引导学生熟悉如何解不等式组.
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.
题型三、可以转化为二次函数型的问题
例3.已知,求函数值y组成的集合.
解：，
令，则
，根据二次函数的图像知，时，t越大，y越小，
当时，当时
所以为所求.
方法总结：要善于观察函数的形式，形如型的函数，均可以通过换元转化为二次函数.从而利用二次函数的单调性求解.
【活动预设】学生根据对函数结构的认真观察，通过换元将其转化为二次函数的求值问题.给二次函数
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.这个思想方法在解析几何最值问题的求解中有广泛的用途.
题型四、可以转化为均值不等式问题的二次型不等式问题.
例4.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.
解：分析，如果根据二次函数的图像性质解题，需要讨论对称轴和区间 的关系，但是如果孤立参数，就可以将本题顺利转化为均值不等式恒成立问题.
解：已知对恒成立
即，在时恒成立，
时，（当且仅当时取等号）
所以.实数的取值范围为：.
方法总结：形如，，则可以转化为，再进一步求的范围.
变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.
方法一：依题意：得图像开口向上，时，函数值均小于等于0
所以即解得：
（说明：如果用参变分离的方法，需要用到对勾函数的单调性，高一的学生还没有学到这些，可以提出来，为后面的学习埋下伏笔.）
变式2：已知不等式在上有解，求实数的取值范围.
解析：在上有解，
即，在上有解，
时，（当且仅当时取等号）
所以.实数的取值范围为：.
方法总结：
在不等式恒成立问题或者不等式有解问题中，如果孤立参数，会得到一个形如的不等式。通过题意求的最大值或者最小值.
若“”恒成立，则求的最小值；
若“”有解，则求的最大值.
【活动预设】引导学生将不等式恒成立问题或者有解问题，转化为对勾函数的取值范围问题.变式1需要用到函数的单调性，学生还没有学习函数的单调性，可以作为课后思考题，为函数的单调性的学习埋下伏笔.
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.
4.课堂小结
（1）掌握了以二次函数图像为核心，解决一元二次方程的根与不等式问题.
（2）掌握了四种主要的题型.
题型一、利用二次函数图像性质解函数值的范围问题.
题型二、一元二次方程根的分布问题
题型三、可以转化为二次函数型的问题
题型四、可以转化为均值不等式问题的二次型不等式问题.
题型千变万变，学会分析问题，掌握核心知识点，就能以不变应万变.
课外作业布置
（1）若关于x的方程x2＋x＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝0有实根，则实数a的取值范围是________．
（2）实数m为何值时，在内有两个不同的实根？
（3）已知函数在上有最大值4，求的值.
作业参考答案：
（1）解：x2＋x＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝0，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝－(x2＋x)，令y＝－(x2＋x)，分析可得，y≤eq \f(1,4)，
若方程x2＋x＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝0有实根，则必有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|≤eq \f(1,4)，而eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|≥eq \f(1,4)，
当且仅当0≤a≤eq \f(1,4)时，有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝eq \f(1,4)，当且仅当0≤a≤eq \f(1,4)时，有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝－(x2＋x)成立，x2＋x＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))＋|a|＝0有实根，可得实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
（2）解：令，由题意得：
即解得：.
所以当时，在内有两个不同的实根.
（3）解：设，配方得：，
其图像的对称轴为直线，且，
当时，抛物线开口向上，所以函数的最大值为，
令，得；
当时，抛物线开口向下，所以函数的最大值为，
令，得.
综上可得：或者.
的图像
的根
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
的解集
R
的解集