2020-2021学年2.3 双曲线课时作业

2.3.3双曲线习题课

一、选择题

1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1，交点个数是(　　)

A．0　　　  B．1　　　

C．2　　　  D．4

[答案]　B

[解析]　∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．

2．已知双曲线＋＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是(　　)

A．(－12,0)　 B．(－∞，0)

C．(－3,0)    D．(－60，－12)

[答案]　A

[解析]　显然m<0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，

∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴＝＝∈(1,4)，

∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．

3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．锐角或钝角三角形

[答案]　B

[解析]　由题意＝，

即m2＝a2＋b2，∴选B.

4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)

A.     B.

C．2     D．2

[答案]　A

[解析]　∵a＝3，b＝，∴＝，

∴m＝5，∴c＝，即焦点为(±，0)

d＝＝

故选A.

5．若双曲线C：x2－＝1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e＝(　　)

A．2　　　　 B.　　　

C．3　　　　 D.

[答案]　B

[解析]　双曲线的顶点(1,0)渐近线y＝bx，则d＝＝

∴b＝1，∴c＝＝，∴e＝＝，故选B.

6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)

A．(，2)   B．(，)

C．(2,5)    D．(2，)

[答案]　B

[解析]　e＝＝

＝＝.

∵a>1，∴0<<1，∴1<(＋1)2<4

∴2<(＋1)2＋1<5.

即e∈(，)，故选B.

7．(2010·辽宁，9)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)

A.     B.

C.    D.

[答案]　D

[解析]　如图，设双曲线方程为－＝1，

∴F点坐标为(，0)，B点坐标为(0，b)，

渐近线方程为y＝±x，

∴kBF·＝－1，

即·＝－1，

∴a＝b2，

∴a4＋a2b2－b4＝0，

即2－－1＝0，

∴＝，e2＝＝1＋＝，

∴e＝，故选D.

8．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)

A．1<m<2    B．m>2

C．m<－2    D．－2<m<2

[答案]　C

[解析]　由已知⇒m<－2.故选C.

9．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)

A．1或5　　　 B．6　　　

C．7　　　  D．9

[答案]　C

[解析]　∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝，∵b＝3，∴a＝2.

又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，

∴|3－|PF2||＝4.

∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．

10．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为(　　)

A.　　　  B.　　　

C.　　　  D.

[答案]　C

[解析]　如图所示，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)．

直线MF2的方程为x＋6y－＝0，

即x＋2y－3＝0.

∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.

二、填空题

11．(2010·福建文，13)若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．

[答案]　1

[解析]　本题主要考查双曲线的渐近线方程．

双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，

∴＝，即b＝1.

12．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．

[答案]　2x－y－15＝0

[解析]　设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4①

x－4y＝4②

①－②得

(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

∵P是线段AB的中点，

∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，

∴＝＝2.

∴直线AB的斜率为2，

∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.

13．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB.则|AB|＝__________.

[答案]　3

[解析]　F1(－2,0)，F2(2,0)

因此，直线AB的方程为y＝(x＋2)tan，

代入双曲线方程得8x2－4x－13＝0(*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|AB|＝[(x1＋x2)2－4x1x2]，

由(*)知x1＋x2＝，x1x2＝－，

代入上式，求得|AB|＝3.

14．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．

[答案]　2x2－2y2＝1

[解析]　由双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆方程为＋y2＝1.知c＝＝1，e＝＝，又它们的离心率互为倒数，所以双曲线的离心率为＝＝，所以a＝，b2＝c2－a2＝1－＝，故双曲线的方程为2x2－2y2＝1.

三、解答题

15．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．

[解析]　∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，

∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．

∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.

又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，

∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.

解得①②得a2＝，b2＝15，

∴双曲线方程为－＝1.

16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点．若＝4，求C的离心率．

[解析]　本题考查直线与双曲线的位置关系、平面向量在解析几何中的应用及运算能力．

设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

由，得(b2－3a2)y2＋2b2cy＋3b4＝0，

∵b2－3a2≠0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，

由＝4得y1＝－4y2，

∴－3y2＝，－4y＝，

∴y2＝代入－4y＝，得

16c2＝27a2－9b2，又b2＝c2－a2，

∴16c2＝27a2－9c2＋9a2，

∴36a2＝25c2，∴e2＝，∴e＝.

[点评]解本题时，要合理选择消元，若消去y得到关于x的一元二次方程，计算量大，故合理选择消元是解答本题的关键．

17．直线l在双曲线－＝1上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.

[解析]　设直线l的方程为y＝2x＋m，

由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由韦达定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．

又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，

∴y1－y2＝2(x1－x2)，

∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2

＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝5[m2－4×(m2＋2)]．

∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.

∴3m2＝70，m＝±.

18．(2008·上海)已知双曲线C－y2＝1，P是C上的任意点．

(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．

[解析]　(1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，

该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.

点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.

它们的乘积是·＝＝.

∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．

(2)设P的坐标为(x，y)，则

|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1

＝2＋.

∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.