高中数学人教版新课标B选修2-12.3 双曲线当堂检测题

2.3.1双曲线的标准方程

一、选择题

1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为(　　)

A．y＝0    B．y＝0(|x|≥13)

C．x＝0(|y|≥13)  D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0.

2．双曲线－＝1的焦点坐标为(　　)

A．(－，0)，(，0)

B．(0，－)，(0，)

C．(－5,0)，(5,0)

D．(0，－5)，(0,5)

[答案]　C

[解析]　16＋9＝c2＝25，∴c＝5，

∵焦点在x轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．

3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为(　　)

A.     B. 

C.     D．5

[答案]　C

[解析]　点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.故选C.

4．已知双曲线方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)

A．2a＋2m    B．4a＋2m

C．a＋m    D．2a＋4m

[答案]　B

[解析]　由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a，

|BF1|－|BF2|＝2a，

∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.

又|AF1|＋|BF1|＝AB＝m，

∴△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.

5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF1|＝3：2，则△PF1F2的面积为(　　)

A．6    B．12 

C．12   D．24

[答案]　B

[解析]　设|PF1|＝x，|PF2|＝y，

则解得又|F1F2|＝2

由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.

∴S△PF1F2＝x·y·sin∠F1PF2＝4×6××1＝12.

6．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0.b>0)有相同的焦点，P是两曲线上的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)

A．m－a    B．m－b

C．m2－a2    D.－

[答案]　A

[解析]　由题意|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.

7．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：

①若曲线C为椭圆，则2<t<4；

②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2；

③曲线C不可能是圆；

④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3<t<4.

以上命题正确的是(　　)

A．②③    B．①④ 

C．②④    D．①②④

[答案]　C

[解析]　若C为圆，则4－t＝t－2>0，∴t＝3.

当t＝3，C表示圆，∴③不正确．

若C为椭圆，则

∴2<t<4，且t≠3，

故①不正确，故选C.

8．设θ∈(π，π)则关于x，y的方程x2cscθ－y2secθ＝1 所表示的曲线是(　　)

A．焦点在y轴上的双曲线

B．焦点在x轴上的双曲线

C．长轴在y轴上的椭圆

D．焦点在x轴上的椭圆

[答案]　C

[解析]　方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示长轴在y轴上的椭圆，故答案为C.

9．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为(　　)

A．1     B. 

C．2     D．4

[答案]　B

[解析]　由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO|的最小值为，故选B.

10．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于(　　)

A．2     B．2

C．4     D．8

[答案]　A

[解析]　∵·＝0，∴⊥.

又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，

∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，

∴|PF1|·|PF2|＝2.

二、填空题

11．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k的值为________．

[答案]　k＝－1

[解析]　方程为－＝1，∵焦点为(0,3)，∴k<0且(－)＋(－)＝9，∴k＝－1.

12．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b＝________.

[答案]　

[解析]　p(a，b)点到y＝x的距离d＝，

∵P(a，b)在y＝x下方，

∴a>b∴a－b＝2，又a2－b2＝1，∴a＋b＝.

13．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．

[答案]　

[解析]　如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，

得y＝，

∴|OP|＝＝.

14．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥F1F2，则点P到x轴的距离为______．

[答案]　

[解析]　∵F1(－5,0)，PF1⊥F1F2.设P(－5，yP)

∴－＝1，即y＝，∴|yP|＝，

∴点P到x轴的距离为.

三、解答题

15．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

[解析]　当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线．

当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆．

当k<0时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．

当0<k<1时，方程＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．

当k>1时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

16．在△ABC中，BC固定，A点为动点，设|BC|＝8，且|sinC－sinB|＝sinA，求A点的轨迹方程．

[解析]　以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－4,0)，C(4,0)．设A(x，y)，则由正弦定理知，sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入|sinC－sinB|＝sinA，得|c－b|＝a＝4，且|BC|＝8>4，故由双曲线定义知，A点在以B，C为焦点的双曲线上，2a0＝4，∴a0＝2,2c0＝8，c0＝4，∴b＝c－a＝16－4＝12，即点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．

17．设双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．

(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；

(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？

[解析]　(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，

设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)

如图所示．

由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.

两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，

因为∠F1MF2＝90°，所以r＋r＝|F1F2|2＝(2c)2＝52，

所以r1r2＝18，所以S△F1MF2＝9.

(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，

由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos60°

|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，得r1r2＝36，

所以S△F1MF2＝r1r2sin60°＝9.

同理，当∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.

18．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100m，BP＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

[解析]　田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．

设M是界线上的任一点，则

|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，

即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)

故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．

若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为－＝1，其中a＝25，

2c＝|AB|＝

＝50.

∴c＝25，b2＝c2－a2＝3750.

因此，双曲线方程为

－＝1(25≤x≤35，y≥0)，

即为所求界线的方程．