人教版新课标B选修2-12.2 椭圆综合训练题

这是一份人教版新课标B选修2-12.2 椭圆综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
[答案] B
[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝eq \f(3,5)或e＝－1(舍)，故选B.
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝m2(m≠0)
B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1
D．以上都不可能
[答案] A
[解析] 椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即a＝2eq \r(2)，c＝2，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m≠0，所以m2>0，有eq \f(x2,8m2)＋eq \f(y2,4m2)＝1，所以a2＝8m2，b2＝4m2.所以a＝2eq \r(2)|m|，c＝2|m|，即e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
3．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )
A．相等的短轴长
B．相等的焦距
C．相等的离心率
D．相同的长轴长
[答案] C
[解析] 把C1的方程化为标准方程，即
C1：eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，从而得C2：eq \f(x2,2)＋y2＝1.
因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．
e1＝eq \f(\r(2),2)，e2＝eq \f(1,\r(2))＝e1＝eq \f(\r(2),2)，
故离心率相等，选C.
4．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
[答案] D
[解析] 由△ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(3b2,4b2))＝eq \f(\r(3),2).
5．我们把离心率等于黄金比eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“优美椭圆”．设eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于( )
A．60° B．75°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] cs∠ABF＝eq \f(|AB|2＋|BF|2－|AF|2,2·|AB|·|BF|)
＝eq \f(a2＋b2－(a＋c)2,2·|AB|·|BF|)
＝eq \f((2＋\f(\r(5)－1,2))a2－(1＋\f(\r(5)－1,2))2a2,2·|AB|·|BF|)
＝eq \f((\f(\r(5)＋3,2)－\f(\r(5)＋3,2))a2,2·|AB|·|BF|)＝0，
∴∠ABF＝90°，选C.
6．椭圆eq \f(x2,－m)＋eq \f(y2,－n)＝1(mA．(0，－eq \r(m＋n))，(0－eq \r(m＋n))
B．(eq \r(n－m)，0)，(－eq \r(n－m)，0)
C．(0，eq \r(m－n))，(0，－eq \r(m－n))
D．(eq \r(m－n)，0)，(－eq \r(m－n)，0)
[答案] B
[解析] 因为m－m>0，故焦点在x轴上，所以c＝eq \r((－m)－(－n))＝eq \r(n－m)，故焦点坐标为(eq \r(n－m)，0)，(－eq \r(n－m)，0)，故选B.
7．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
[答案] C
[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．
由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其－2≤x≤2，则
eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2
＝x2＋x＋3－eq \f(3,4)x2＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2
当x＝2时，(eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→)))max＝6.
8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),2)
[答案] A
[解析] 由题意知a＝2c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
9．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝eq \f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置( )
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
[答案] A
[解析] 由e＝eq \f(1,2)知eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝eq \r(3)c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋eq \r(3)cx－c＝0，即2x2＋eq \r(3)x－1＝0，则x1＋x2＝－eq \f(\r(3),2)，x1x2＝－eq \f(1,2)，xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq \f(7,4)<2.
10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
[答案] A
[解析] 如图，△ABF2为正三角形，
∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，
eq \r(3)|AF1|＝|F1F2|.
∴|AF1|＝eq \f(2,3)a，又|F1F2|＝2c，
∴eq \f(\f(2,3)a,2c)＝eq \f(1,\r(3)) .
∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故选A.
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________.
[答案] eq \f(\r(2),2)
[解析] 如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故eq \f(a2,c)＝eq \r(2)a，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
12．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
[答案] eq \f(5,3)
[解析] 易知直线AB的方程为y＝2(x－1)，与椭圆方程联立解得A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，故S△ABC＝S△AOF＋S△BOF＝eq \f(1,2)×1×2＋eq \f(1,2)×1×eq \f(4,3)＝eq \f(5,3).
13．已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] 由椭圆的第一定义得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加，得|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝4a＝20⇒|AB|＝20－12＝8.
14．在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝eq \f(3,4).若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.
[答案] eq \f(1,2)
[解析] 设|AC|＝3x，|AB|＝4x，
又∵∠A＝90°，∴|BC|＝5x，
由椭圆定义：|AC|＋|BC|＝2a＝8x，
那么2c＝|AB|＝4x，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4x,8x)＝eq \f(1,2).
三、解答题
15．已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4eq \r(3)和2eq \r(3)，且点P与两焦点连线所张角的平分线交x轴于点Q(1,0)，求椭圆的方程．
[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵|PF1|＝4eq \r(3)，|PF2|＝2eq \r(3)，
∴2a＝6eq \r(3)，即a＝3eq \r(3)，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF1||PF2|＝|F1Q||QF2|＝21，
即c＋1＝2(c－1)，
∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝18，
故所求椭圆方程为eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1.
16. 设P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥eq \f(\r(2),2).
[证明] 证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，①
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)，②
由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．
令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0,f(a－c)>0,f(a＋c)>0))可得(eq \f(c,a))2≥eq \f(1,2)，即e≥eq \f(\r(2),2).
证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2
∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，故e≥eq \f(\r(2),2).
17．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P、Q，且|PQ|＝eq \r(10)，求椭圆方程．
[解析] ∵e＝eq \f(\r(3),2)，∴b2＝eq \f(1,4)a2.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y得
2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得
10＝eq \f(5,4)[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.
∴椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.
18．过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设所求直线存在，方程y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝eq \f(8(2k2－k),4k2＋1).又M为AB的中点，所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(4(2k2－k),4k2＋1)＝2，解得k＝－eq \f(1,2).又k＝－eq \f(1,2)时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.