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高中数学人教版新课标A选修4-1一 平行线等分线段定理教案
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-1一 平行线等分线段定理教案，共5页。教案主要包含了从特殊到一般猜想结论，用化归，运用定理解决问题，师生共同小结，作业等内容，欢迎下载使用。
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．
2．熟练掌握任意等分线段的方法．
3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．
教学重点和难点
重点是平行线等分线段定理及证明；
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答．
（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．
（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．
教法：
①引导学生用语言叙述该命题．
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．
②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
用化归的方法证明定理．
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．
已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．
分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．
方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．
2．用运动的观点掌握定理的变式图形．
（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．
说明：
（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．
（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．
（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．
3．用特殊化的方法研究推论．
对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．
在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图 4－82中，∵ △ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC．
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．
三、运用定理解决问题
1．n等分任意一已知线段的作图．
例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．
分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．
（2）如图 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点．求
证：△EBC是等腰三角形．
教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？
四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．
2．怎样n等分一条已知线段？
3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．
五、作业
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．
2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．
3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因
此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．
4．定理还可用以下方式引入：
（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行
直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？
（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：
①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．
（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．
（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．
2．熟练掌握任意等分线段的方法．
3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．
教学重点和难点
重点是平行线等分线段定理及证明；
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答．
（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．
（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．
教法：
①引导学生用语言叙述该命题．
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．
②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
用化归的方法证明定理．
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．
已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．
分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．
方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．
2．用运动的观点掌握定理的变式图形．
（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．
说明：
（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．
（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．
（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．
3．用特殊化的方法研究推论．
对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．
在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图 4－82中，∵ △ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC．
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．
三、运用定理解决问题
1．n等分任意一已知线段的作图．
例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．
分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．
（2）如图 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点．求
证：△EBC是等腰三角形．
教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？
四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．
2．怎样n等分一条已知线段？
3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．
五、作业
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．
2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．
3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因
此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．
4．定理还可用以下方式引入：
（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行
直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？
（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：
①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．
（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．
（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．
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