必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数教学设计

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

1分钟

（一）复习概念，导入新课

问题1：上节课我们学习了一个新的函数——指数函数，你能复述一下指数函数的概念和指数函数解析式的特征么？

问题2：类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？

师生活动：教师提出问题，引导学生复习指数函数的概念，指数函数解析式的特征，指数函数的定义域．学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法．

类比已有的学习经验是一个好方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质．我们先从具体的指数函数入手．

设计意图：通过类比已有的研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和研究方法．首先先画出指数函数的图象，再借助图象研究指数函数的性质．

17分钟

（二）绘制图象，自主探究

问题3：我们先从简单的函数入手．请同学们画出指数函数的图象．观察函数的图象，分析函数的性质．

师生活动：从简单的函数入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性．由概念知定义域为R，根据指数运算，分析值域为，进而分析出函数的图象应该都在x轴上方．通过特殊点的分析，得出函数不具有奇偶性．单调性需要借助图象研究．学生在列表时，分析x的取值，要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象．

问题4：请同学们画出指数函数的图象，观察函数的图象.

师生活动：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图象，探究函数的性质．

问题5：你是如何画出函数的图象？描点法还是利用对称性？请讲出选择的理由．

师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性．因为，点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数图象上任意一点关于y轴的对称点都在函数的图象上，反之亦然．根据这种对称性，可以利用函数的图象，画出的图象．并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象．

设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研究具体函数的过程．让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知．学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，我们将指数函数的图象按底数的取值，分作和两种类型进行研究．让学生学会用联系的观点看待问题．

问题6：我们将指数函数的图象按底数的取值，分作和两种类型进行研究．为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察．

问题7：画出指数函数和的图象，分析它们的性质．画出指数函数和的图象，分析它们的性质．

师生活动：学生动手操作，观察分析，师生共同评价．

教师指导学生先研究底数的情况，可追问学生在的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究．学生画出指数函数和的图象，教师借助几何画板呈现多个函数的图象．观察图象，师生共同总结出图象的直观性质；当时，底数越大越靠近y轴，而当，底数越小越靠近y轴，故底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称。

设计意图：再研究了和这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，概括它们的共同特征．通过选取底数（＞0，且≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象得出结论．

问题8：如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a,b,c,d与1、0的大小关系是            

设计意图：

利用刚刚师生总结的结论来解决实际问题，并通过几何画板验证结论的真实性。

10分钟

（三）观察归纳，概括性质

同学们再次观察图象，分析它们的性质，并将它们跟函数的图象进行对比，寻找它们的共性，概括（）的值域和性质．观察函数和的图象，寻找它们的共性，概括（）的值域和性质．

问题9：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？

师生活动：学生合作学习，探究性质，师生互动总结．

教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生以小组为单位，观察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性．

（1）这些函数的图象都过点．

（2）函数的定义域都是，值域都是．

（3）当时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数．

问题10：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？

师生活动：依靠信息技术，教师根据指数函数的解析式直接作图，并对指数函数（＞0，且≠1）中的底数进行任意取值，追踪函数图象的变化．学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质．

设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质．这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数分为和两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的函数图象看到其共性，实现 “由特殊到一般”的归纳过程，了解指数函数的性质．

问题10：请同学们归纳概括指数函数的性质，并完成下表．

师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图像特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表并生成记忆口诀：左右无限上青天，永与横轴不沾边，大一增小一减，定在（0，1）不动弹，由学生课后补上标题，增加趣味性。

设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质．学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、特殊点和单调性和函数值变化情况．在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”．

10分钟

（四）知识应用

例题：比较下列各题中两个值的大小：

（1）（2）（3）（4）

归纳小结：

（1）当同底数并明确底数a与1的大小关系时，直接用函数的单调性来解；

（2）当同底数但不明确底数a与1的大小关系时，要分情况讨论；

（3）当底数不同不能直接比较时，可借助中间数（如1或0等），间接比较两个指数的大小。

巩固练习：比较下列各组值中各个值的大小：

（1）  （2）   （3）

设计意图：学生经历例题——总结——练习的过程，讲练结合，可以更好地理解和解决此类问题。

1分钟

（五）课堂小结

课堂小结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题．

（1）在本节课，你学习了哪些知识？

（2）总结研究指数函数性质的一般步骤

（3）本节课用到了哪些思想方法和核心素养？

设计意图：引导学生从知识内容和研究的思想方法核心素养两个方面对本节课进行小结．

1分钟

（六）作业布置

课后作业：教材119页习题4.2的第三题和第六题.

作业拓展：1. 函数的图象必经过点__________

2. 解不等式

设计意图：分层作业，激发学生的学习兴趣