高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案设计，共7页。

[重点] 向量数乘的定义．
[难点] 向量共线基本定理．
要点整合夯基础
知识点一 向量数乘的定义
[填一填]
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0.
[答一答]
1．数乘向量与数乘数有什么区别？
提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．
2．－2a与a有什么关系？
提示：－2a与a方向相反，－2a的长度是a长度的2倍．
知识点二 向量数乘的运算律
[填一填]
实数与向量的积的运算律中，结合律是λ(μa)＝(λμ)a，它的几何意义是将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同．
第一分配律是(λ＋μ)a＝λa＋μa，几何意义是将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同．
第二分配律是λ(a＋b)＝λa＋λb，几何意义是将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同．
[答一答]
3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？
提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
知识点三 向量共线基本定理
[填一填]
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[答一答]
4．定理中条件a≠0能漏掉吗？
提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
5．与非零向量a共线的单位向量是±eq \f(a,|a|).
知识点四 线性运算
[填一填]
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[答一答]
6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？
提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．
典例讲练破题型
类型一 向量的数乘运算
[例1] 计算：(1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)b))；
(2)eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b)).
[分析] 综合运用向量数乘的运算律求解．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
[变式训练1] (1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( C )
A．－a
B．－b
C．－c
D．以上都不对
(2)eq \f(2,3)[(4a－3b)＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,4)(6a－7b)]＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b.
解析：(1)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c，故选C.
(2)原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))))＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b.
类型二 用已知向量表示未知向量
[例2] 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且eq \(AK,\s\up15(→))＝e1，eq \(AL,\s\up15(→))＝e2，试用e1，e2表示eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→)).
[分析] 利用向量的加法和数乘运算进行化简．
[解] 设eq \(BC,\s\up15(→))＝x，则eq \(BK,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)x，eq \(AB,\s\up15(→))＝e1－eq \f(1,2)x，
eq \(DL,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x.
由eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DL,\s\up15(→))＝eq \(AL,\s\up15(→))，得x＋eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x＝e2，
解方程得x＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1，即eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1.
由eq \(CD,\s\up15(→))＝－eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AB,\s\up15(→))＝e1－eq \f(1,2)x，
得eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)x－e1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)e2－\f(2,3)e1))－e1＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2.
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
[变式训练2] 如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，eq \(OC,\s\up15(→))＝c，试用a、b、c表示向量eq \(OM,\s\up15(→)).
解：连接AM并延长交BC于D点．
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝eq \f(2,3)AD.
∴eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up15(→))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up15(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up15(→))
＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→)))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→)))
＝eq \f(2,3)(b－a)＋eq \f(1,3)(c－b)
＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.
∴eq \(OM,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(AM,\s\up15(→))＝a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b＋\f(1,3)c))
＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)．
类型三 向量共线定理的应用
[例3] 已知非零向量e1和e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up15(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up15(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数值．
[分析] 对于(1)，欲证明A，B，D三点共线，只需证明存在λ，使eq \(BD,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))即可．对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，
eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up15(→))，
∴eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BD,\s\up15(→))共线，且有公共点B.∴A，B，D共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))则k＝±1.
用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λaa，b为由这三点构成的任意两个向量.证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线.
[变式训练3] 已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( A )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(CD,\s\up15(→))＝b.
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解析：首先判定①能否使a，b共线，由向量方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3b＝4e，,a＋2b＝－3e)) 可求得：a＝－eq \f(1,7)e，b＝－eq \f(10,7)e，∴b＝10a，∴a，b共线，因此可排除C、D；而由②可得λ，μ是相异实数，所以λ，μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b＝－eq \f(λ,μ)a，故a，b共线，所以排除B，故选A.
课堂达标练经典
1．设λμ∈R，下列叙述不正确的是( D )
A．λ(μa)＝(λμ)a B．(λ＋μ)a＝λa＋μa
C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．λa，a的方向相同(λ≠0)
解析：A，B，C选项是向量数乘满足的运算律，均正确；D不正确，当λ<0时，λa与a的方向相反．
2．点P在△ABC所在平面上，且满足eq \(PA,\s\up15(→))＋eq \(PB,\s\up15(→))＋eq \(PC,\s\up15(→))＝2eq \(AB,\s\up15(→))，则eq \f(S△PAB,S△ABC)＝( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,3)
解析：因为eq \(PA,\s\up15(→))＋eq \(PB,\s\up15(→))＋eq \(PC,\s\up15(→))＝2eq \(AB,\s\up15(→))＝2(eq \(PB,\s\up15(→))－eq \(PA,\s\up15(→)))，所以3eq \(PA,\s\up15(→))＝eq \(PB,\s\up15(→))－eq \(PC,\s\up15(→))＝eq \(CB,\s\up15(→))，所以eq \(PA,\s\up15(→))，eq \(CB,\s\up15(→))共线，且3|eq \(PA,\s\up15(→))|＝|eq \(CB,\s\up15(→))|，所以eq \f(S△PAB,S△ABC)＝eq \f(1,3).
3．若|a|＝m，b与a方向相反，|b|＝2，则a＝－eq \f(m,2)b.
解析：∵2|a|＝m|b|，a与b方向相反，∴a＝－eq \f(m,2)b.
4．在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若eq \(EC,\s\up15(→))＝λeq \(AD,\s\up15(→))＋μeq \(AB,\s\up15(→))，则λ＋μ＝eq \f(3,2).
解析：如图，因为eq \(EC,\s\up15(→))＝eq \(ED,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))，所以λ＋μ＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
5．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
——本课须掌握的三大问题
1．向量数乘运算的意义
(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
(2)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量eq \f(a,|a|)表示与向量a同向的单位向量．
2．对向量共线定理的理解
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
3．判断两个向量是否共线的方法
判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程．若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在．