人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

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[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
[重点] 平面向量基本定理．
[难点] 平面向量基本定理的应用．
要点整合夯基础
知识点 平面向量基本定理
[填一填]
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[答一答]
1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2．如图，设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \(OM,\s\up15(→))＋eq \(ON,\s\up15(→))？
提示：能. 过点P作OA、OB的平行线，分别与OB、OA相交，交点即为N、M.
3．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.
典例讲练破题型
类型一 基底的概念
[例1] 下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④ B．②③④
C．①③ D．①③④
[解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．
[答案] B
根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.
[变式训练1] 设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( B )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
类型二 用基底表示向量
[例2] 如图所示，在△OAB中，eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq \(OM,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)a，eq \(ON,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)b，设eq \(AN,\s\up15(→))与eq \(BM,\s\up15(→))交于点P，用向量a、b表示eq \(OP,\s\up15(→)).
[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
[解] ∵eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \(OM,\s\up15(→))＋eq \(MP,\s\up15(→))，eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \(ON,\s\up15(→))＋eq \(NP,\s\up15(→))，
设eq \(MP,\s\up15(→))＝meq \(MB,\s\up15(→))，eq \(NP,\s\up15(→))＝neq \(NA,\s\up15(→))，
则eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \(OM,\s\up15(→))＋meq \(MB,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)a＋m(b－eq \f(1,3)a)＝eq \f(1,3)(1－m)a＋mb，
eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \(ON,\s\up15(→))＋neq \(NA,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,5)，,n＝\f(1,5).))
∴eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
[变式训练2] 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝b，试以{a，b}为基底表示eq \(DE,\s\up15(→))、eq \(BF,\s\up15(→)).
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))＝2eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \(BA,\s\up15(→))＝2eq \(CF,\s\up15(→))，
∴eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)b，
eq \(CF,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up15(→))＝eq \(DA,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BE,\s\up15(→))＝－eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BE,\s\up15(→))
＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b.
eq \(BF,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CF,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(CF,\s\up15(→))＝b－eq \f(1,2)a.
类型三 平面向量基本定理的应用
[例3] 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若eq \(AM,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))＋μeq \(BC,\s\up15(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(5,3) B.－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
[解析] ∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，∴在△ABD中，BD＝eq \f(1,2)AB＝1.
又BC＝3，∴BD＝eq \f(1,3)BC，
∴eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up15(→)).
∵M为AD的中点，
∴eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up15(→)).
∵eq \(AM,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))＋μeq \(BC,\s\up15(→))，
∴λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,6)，
∴λ＋μ＝eq \f(2,3).
[答案] D
应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.
[变式训练3] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值．
解：设eq \(BM,\s\up15(→))＝e1，eq \(CN,\s\up15(→))＝e2，则eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))＋eq \(CM,\s\up15(→))＝－3e2－e1，eq \(BN,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CN,\s\up15(→))＝2e1＋e2.
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up15(→))＝λeq \(AM,\s\up15(→))＝－λe1－3λe2，eq \(BP,\s\up15(→))＝μeq \(BN,\s\up15(→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up15(→))＝eq \(BP,\s\up15(→))＋eq \(PA,\s\up15(→))＝eq \(BP,\s\up15(→))－eq \(AP,\s\up15(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
又eq \(BA,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CA,\s\up15(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up15(→))，eq \(BP,\s\up15(→))＝eq \f(3,5)eq \(BN,\s\up15(→))，所以APPM＝41，BPPN＝32.
课堂达标练经典
1．下列说法中，正确说法的个数是( C )
①在△ABC中，{eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③正确，②错误．
2．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①eq \(AD,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))；②eq \(DA,\s\up15(→))与eq \(BC,\s\up15(→))；③eq \(CA,\s\up15(→))与eq \(DC,\s\up15(→))；④eq \(OD,\s\up15(→))与eq \(OB,\s\up15(→)).其中可作为该平面内所有向量基底的是( B )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：eq \(AD,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))不共线，eq \(DA,\s\up15(→))∥eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CA,\s\up15(→))与eq \(DC,\s\up15(→))不共线，eq \(OD,\s\up15(→))∥eq \(OB,\s\up15(→))，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
3．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.
解析：∵e1、e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))∴x－y＝3.
4.如图所示，向量eq \(OA,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))，eq \(OC,\s\up15(→))的长度分别是2，eq \r(3)，1.∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，则eq \(OC,\s\up15(→))＝－eq \f(\r(3),3)eq \(OA,\s\up15(→))＋(－eq \f(1,3))eq \(OB,\s\up15(→)).
解析：不妨设eq \(OC,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋neq \(OB,\s\up15(→))，
则m<0，n<0.
如图，构建▱OA′C′B′，其中eq \(OC′,\s\up15(→))＝－eq \(OC,\s\up15(→))，且eq \(OC′,\s\up15(→))＝eq \(OA′,\s\up15(→))＋eq \(OB′,\s\up15(→))，
则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，
于是|eq \(OB′,\s\up15(→))|tan60°＝|eq \(OC′,\s\up15(→))|，
|eq \(OA′,\s\up15(→))|·sin60°＝|eq \(OC′,\s\up15(→))|，
所以|eq \(OA′,\s\up15(→))|＝eq \f(2,\r(3))，|eq \(OB′,\s\up15(→))|＝eq \f(1,\r(3))，
所以|eq \(OA′,\s\up15(→))|＝eq \f(\r(3),3)|eq \(OA,\s\up15(→))|，|eq \(OB′,\s\up15(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(OB,\s\up15(→))|，
从而m＝－eq \f(\r(3),3)，n＝－eq \f(1,3).
5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设eq \(AB,\s\up15(→))＝b，eq \(AD,\s\up15(→))＝d，eq \(AM,\s\up15(→))＝m，eq \(AN,\s\up15(→))＝n.
(1)以{b，d}为基底，表示eq \(MN,\s\up15(→))；
(2)以{m，n}为基底，表示eq \(AB,\s\up15(→)).
解：如图所示．
(1)eq \(MN,\s\up15(→))＝eq \(AN,\s\up15(→))－eq \(AM,\s\up15(→))
＝(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BN,\s\up15(→)))－(eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DM,\s\up15(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)d))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d＋\f(1,2)b))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)d.
(2)∵m＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DM,\s\up15(→))＝d＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))，①
n＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BN,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,2)d，②
∴由①②消去d，得eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \f(4,3)n－eq \f(2,3)m.
——本课须掌握的两大问题
1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点．
2．根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．