2020-2021学年6.4 平面向量的应用导学案

这是一份2020-2021学年6.4 平面向量的应用导学案，共7页。
[目标] 1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
[重点] 能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
[难点] 余弦定理的推导及能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
要点整合夯基础
知识点一 余弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；
若a20)．
由余弦定理的推论得：csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(6＋\r(3)＋12－4,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq \f(\r(2),2)，∴A＝45°，
csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4＋\r(3)＋12－6,2×2×\r(3)＋1)＝eq \f(1,2)，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角．
利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的．当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角．
[变式训练1] (1)在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( B )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,12)
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.
解析：(1)∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
又∵C为锐角，∴C＝eq \f(π,6).
(2)已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.
类型二 已知三角形两边及一角解三角形
[例2] (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a；
(2)已知在△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两实根，求边BC的长．
[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；
(2)利用余弦定理、根与系数的关系进行求解．
[解] (1)由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccsA＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cs30°＝3，所以a＝eq \r(3).
(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccsA，
其中a＝BC，b＝AC，c＝AB.
由方程根与系数关系，b·c＝eq \f(32,3)，b＋c＝9，
∴a2＝81－eq \f(32,3)×2－2×eq \f(32,3)×eq \f(1,2)＝49，
∴a＝7.∴BC＝7.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
[变式训练2] 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( A )
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3)
C．1 D.eq \f(2,3)
解析：(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝4，
又c2＝a2＋b2－2abcsC＝a2＋b2－ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴3ab＝4，∴ab＝eq \f(4,3).
类型三 判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2csAsinB，试判断△ABC的形状．
[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．
[解] ∵△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，
又2csAsinB＝sinC＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sin(A－B)＝0，
又∵－180°0，∴解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝2.))