数学第十章 概率10.2 事件的相互独立性学案设计

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[重点] 掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．
[难点] 理解相互独立事件的定义及意义．
要点整合夯基础
知识点 事件的相互独立性
[填一填]
1．定义
对于任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．性质
当事件A，B相互独立时，A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
[答一答]
甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)；②目标恰好被命中两次的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)；③目标被命中的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)；④目标被命中的概率为1－eq \f(1,2)×eq \f(2,3).
以上正确说法的序号是②④.
解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)；②正确，目标恰好被命中两次的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)；目标被命中的概率为1－eq \f(1,2)×eq \f(2,3)，所以③错误，④正确.
典例讲练破题型
类型一 相互独立事件的判断
[例1] 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[分析] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(A∩B)＝eq \f(1,6).∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1.定义法：事件A，B相互独立⇔PA∩B＝PA·PB.
2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
[变式训练1] (1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与eq \x\t(A)2是( A )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B( A )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A1，eq \x\t(A)2是相互独立事件．
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
类型二 相互独立事件发生的概率
[例2] 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是eq \f(3,4)，甲、乙两人都回答错误的概率是eq \f(1,12)，乙、丙两人都回答正确的概率是eq \f(1,4).设每人回答问题正确与否相互独立的．
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
[分析] (1)设乙答对这道题的概率为x，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；
(2)设丙答对这道题的概率y，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案．
[解] (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率P(B)＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件．
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×(1－x)＝eq \f(1,12)，解得x＝eq \f(2,3)，
所以，乙对这道题的概率为P(B)＝eq \f(2,3).
(2)设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y.
由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(BC)＝P(B)P(C)＝eq \f(2,3)×y＝eq \f(1,4)，解得y＝eq \f(3,8).
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,8)))＝eq \f(5,96).
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为P(M)＝1－eq \f(5,96)＝eq \f(91,96).
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1首先确定各事件之间是相互独立的；
2确定这些事件可以同时发生；
3求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
[变式训练2] (1)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率是( B )
A.eq \f(1,64) B.eq \f(55,64)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是0.98.
解析：(1)设T＝“A与B中至少有一个不闭合”，R＝“E与F至少有一个不闭合”，则P(T)＝P(R)＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))＝1－eq \f(3,4)×eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(55,64)，故选B.
(2)设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
课堂达标练经典
1．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；
③P(ABC)＝eq \f(1,8)；④P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,8).
其中正确的有( D )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(1,2)，故①④对．
P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P(AC)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P(BC)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故②对．
事件A，B，C不可能同时发生，P(ABC)＝0，故③错．故选D.
2．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( B )
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
解析：所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故选B.
3．某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为eq \f(2,3)，两个路口都遇到红灯的概率为eq \f(2,5)，则他在第二个路口遇到红灯的概率为( C )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)
解析：记事件A为“在第一个路口遇到红灯”，事件B为“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以P(A)P(B)＝P(AB)，所以P(B)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5).
4．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：(1)若M，N为互斥事件，且P(M)＝eq \f(1,5)，P(N)＝eq \f(1,4)，则P(M∪N)＝eq \f(9,20)；(2)若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；(3)若P(eq \x\t(M))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；(4)若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(N))＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；(5)若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\t(M)eq \x\t(N))＝eq \f(5,6)，则M，N为相互独立事件．其中正确命题的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：若M，N为互斥事件，且P(M)＝eq \f(1,5)，P(N)＝eq \f(1,4)，
则P(M∪N)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,20)，故(1)正确；
若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6).
则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(2)正确；
若P(eq \x\t(M))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，
则P(M)＝1－P(eq \x\t(M))＝eq \f(1,2)，P(MN)＝P(M)·P(N)．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(3)正确；
若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(N))＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，
当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P(eq \x\t(N))＝eq \f(2,3)，P(MN)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，故(4)错误；
若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\t(M) eq \x\t(N))＝eq \f(5,6)，
则P(eq \x\t(M))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(N))＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(M) eq \x\t(N))≠P(eq \x\t(M))·P(eq \x\t(N))．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(5)错误．故选C.
5．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( C )
A．0.15 B．0.105 C．0.045 D．0.21
解析：甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，
根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.3×0.5×0.3＝0.045.故选C.
——本课须掌握的问题
甲
乙
丙
丁
甲
—
0.3
0.3
0.8
乙
0.7
—
0.6
0.4
丙
0.7
0.4
—
0.5
丁
0.2
0.6
0.5
—