人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用学案设计

这是一份人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用学案设计，共7页。
[目标] 1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．
[重点] 用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”．
[难点] 如何将几何等实际问题化归为向量问题．
要点整合夯基础
知识点一 向量方法在几何中的应用
[填一填]
对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0)⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝eq \r(a2)或eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
[答一答]
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，a＝eq \(AB,\s\up16(→))，如何用坐标表示a和|a|?
提示：a＝(x2－x1，y2－y1)，
|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识点二 平面几何中的向量方法
[填一填]
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．
[答一答]
2．用向量可以解决平面几何中的哪些问题？
提示：(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、向量共线定理．
(2)证明线段垂直，可以用向量的数量积运算．
(3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．
典例讲练破题型
类型一 利用向量证明平行或垂直问题
[例1] 如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.
求证：MN∥AD.
[分析] 本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．
[证明] ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
设eq \(AB,\s\up16(→))＝μeq \(EF,\s\up16(→))(μ≠1)，
则eq \f(AN,EN)＝μ，eq \(AE,\s\up16(→))＝(μ－1)eq \(EN,\s\up16(→))，
同理，由eq \(EF,\s\up16(→))∥eq \(CD,\s\up16(→))，可得eq \(DE,\s\up16(→))＝(μ－1)eq \(EM,\s\up16(→))，
∴eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(ED,\s\up16(→))－eq \(EA,\s\up16(→))＝eq \(AE,\s\up16(→))－eq \(DE,\s\up16(→))＝(μ－1)eq \(MN,\s\up16(→))，
∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴eq \(AD,\s\up16(→))＝λeq \(MN,\s\up16(→))，即AD∥MN.
[变式训练1] 如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
证明：∵eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))，
∴eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BD,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→)))·(eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＝|eq \(AD,\s\up16(→))|2－|eq \(AB,\s\up16(→))|2＝0.
∴eq \(AC,\s\up16(→))⊥eq \(BD,\s\up16(→))，∴AC⊥BD.
类型二 利用向量解决长度和夹角问题
[例2] 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[分析] 本题是求线段长度和夹角的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解] (1)设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，
则eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
∴|eq \(AD,\s\up16(→))|2＝eq \a\vs4\al(\(AD,\s\up16(→)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2
＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2
＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cs120°＋eq \f(1,9)×9＝3.
∴AD＝eq \r(3).
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq \(AD,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))的夹角．
∴csθ＝eq \f(\(AD,\s\up16(→))·\(AC,\s\up16(→)),|\(AD,\s\up16(→))||\(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)
＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0.
∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.
先利用图形特点和已知条件选择基底表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.
[变式训练2] 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设eq \(AD,\s\up16(→))＝a，eq \(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \(BD,\s\up16(→))＝a－b, eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b.
而|eq \(BD,\s\up16(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，①
∴|eq \(AC,\s\up16(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得2a·b＝1.
∴|eq \(AC,\s\up16(→))|2＝6，
∴|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
课堂达标练经典
1．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝0，eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BD,\s\up16(→))＝0，则四边形为( D )
A．平行四边形B．矩形
C．等腰梯形D．菱形
解析：∵eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(CD,\s\up16(→))，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(CD,\s\up16(→))|，且eq \(AC,\s\up16(→))⊥eq \(BD,\s\up16(→))，故四边形为菱形．
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up16(→))·(eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→)))的最小值是( B )
A．－2B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3)D．－1
解析：取BC的中点D，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0，eq \r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，
所以eq \(PA,\s\up16(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up16(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up16(→))＝(1－x，－y)，
所以eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝(－2x，－2y)，eq \(PA,\s\up16(→))·(eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→)))＝2x2－2y(eq \r(3)－y)＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))2－eq \f(3,2)≥－eq \f(3,2).
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))时，eq \(PA,\s\up16(→))·(eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→)))取得最小值，最小值为－eq \f(3,2).
3．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝16.
解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq \r(2)，∠ABC＝45°，∴eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝4eq \r(2)×4×cs45°＝16.
4．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝1.
解析：
建立平面直角坐标系，如图所示，设AD＝t(t>0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)．
则eq \(AC,\s\up16(→))＝(1，t)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－1，t)．
由AC⊥BC知eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝－1＋t2＝0，
解得t＝1，故AD＝1.
5．已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：设对角线AC、BD交于点O，则有eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))，eq \(BO,\s\up16(→))＝eq \(OD,\s\up16(→))，
∴eq \(AO,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(BO,\s\up16(→))，∴eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，
故四边形ABCD是平行四边形．
又∵|eq \(AO,\s\up16(→))|2＋|eq \(OD,\s\up16(→))|2＝|eq \(AD,\s\up16(→))|2，
|eq \(OC,\s\up16(→))|2＋|eq \(OD,\s\up16(→))|2＝|eq \(CD,\s\up16(→))|2，
∴|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(CD,\s\up16(→))|，故四边形ABCD是菱形．
——本课须掌握的问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．