高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案及答案，共5页。

10．1.1 有限样本空间与随机事件
[目标] 1.了解样本空间、随机事件的含义；2.了解必然事件、不可能事件的含义．
[重点] 样本空间与各种事件概念的理解.
[难点] 样本空间、随机事件的含义．
要点整合夯基础
知识点 事件的有关概念
[填一填]
1．事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．
(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．
2．对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[答一答]
随机试验有哪些特点？
提示：(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
典例讲练破题型
类型一 样本点的确定
[例1] 在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
[分析] (1)一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；(2)先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．
[解] 不妨记3张红色卡片为1,2,3号，2张白色卡片为4,5号．
(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1号、2号卡片)，故共有10个样本点．
(2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中的样本点有25个．
试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
[变式训练1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
解：(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
类型二 样本空间的分析
[例2] 将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
[分析] 根据事件的特点列举即可．
[解] 方法1：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(1)由图知，样本点总数为36.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
方法3：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
样本点个数的三个探求方法
1列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
2列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
3树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.
[变式训练2] 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
解：方法1：(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个样本点．
方法2：(1)采用列表法．
课堂达标练经典
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．
2．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( D )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
解析：抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．选D.
3．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( A )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个样本点．故选A.
4．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( C )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
解析：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．
5．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个样本点．
(1)写出试验的样本空间．
(2)用集合表示事件M＝“a＋b＝5”包含的样本点．
解：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
——本课须掌握的问题
必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，其概率为1，而不可能事件正相反，其概率为0；必然事件与不可能事件都是随机事件的极端情形．