精品解析：2020年山东省泰安市岱岳区黄前中学中考数学一模试题（解析版+原卷版）

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1. 若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ）
A. ﹣1B. 1C. 5D. ﹣5
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3，故选B．
考点：有理数的加法．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a4+a4=a 8B. （a3）4=a7
C. 12a6b4÷3a2b-2=4a4b2D. （-a3b）2=a6b2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法进行计算，即可得出答案.
【详解】A.原式=2a4，错误；
B.原式=a12，错误；
C.原式=4a4b6，错误；
D.原式=a6b2，正确
选D
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握合并同类项、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法.
3. PM2.5是指大气中直径0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表（ ）
A. 2.5×10﹣7B. 2.5×10-6C. 25×10﹣7D. 0.25×10﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.0000025用科学记数法表示为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A. 13B. 11C. 10D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
5. 如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A. 122°B. 151°C. 116°D. 97°
【答案】B
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．
故选B．
考点：平行线的性质．
6. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为
故选C
7. 不等式组的整数解有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
所以，不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解．
8. 如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )
A. 22.48海里B. 41.68海里C. 43.16海里D. 55.63海里
【答案】B
【解析】
【分析】
过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
【详解】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
考点：锐角三角函数的应用
9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A. 4B. 6C. 2D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD=OC=2，
∴AC=2CD=4．
故选A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．
10. 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( )
A. 2B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，，解得x=4．故选B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
11. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG==，
在菱形ABCD中，
∵∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形ABG）+S扇形FBE==．
故选A．
考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．
12. 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. AB. BC. CD. D
【答案】C
【解析】
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°，
∴∠BPD=∠CAP，
∴△BPD∽△CAP，
∴BP:AC=BD:PC，
∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，
∴x:4=y:(4−x)，
∴y=−x2+x.
故选C.
点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.
二、填空题
13. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
【答案】x1=0，x2=1
【解析】
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
14. 小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
【详解】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得．
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
15. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________．
【答案】50°．
【解析】
【分析】
【详解】解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵EF为⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵AB为直径，H为CD的中点
∴AB⊥CD，即∠BHE=90°，
∵∠ACF=65°，
∴∠AOF=130°，
∴∠E=360°-∠BHE-∠OFE-∠AOF=50°，
故答案为：50°.

16. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 ．
【答案】①③④．
【解析】
试题分析：∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，∴，
解得，∴y=﹣x2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线，所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为①③④．
【考点】二次函数的性质．
17. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步．
【答案】
【解析】
分析：由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论．
详解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，
解得：CK=．
故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____．
【答案】10100
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
【详解】由图象可知点B2020在第一象限，
∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB，
∴OA+AB1+B1C2=++4=10，
∴B2的横坐标为：10，
同理：B4的横坐标为：2×10=20，
B6的横坐标为：3×10=30，
∴点B2020横坐标为：10100．
故答案为：10100．
【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
三、解答题
19. 先化简：÷在从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x的值代入求值．
【答案】，﹣
【解析】
【分析】
直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案．
【详解】÷
＝
＝
＝，
∵从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x的值，
∴x可以为：﹣1，0，1，2，
当x＝0，1，2时，分式无意义，
当x＝﹣1时，
原式＝=﹣．
【点睛】此题主要考查了分式化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
20. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【答案】（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.
【解析】
【分析】
（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）56÷20%=280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
21. 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠MPN＝90°，P（3，3）．（2）9；（3）27﹣18．
【解析】
【分析】
（1）如图，作PM⊥OA于 M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．
（3）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，可得AB=6-a-b，推出OA+OB+AB=6，可得，利用基本不等式即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9ab，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∴OC，同法可得OD，
∴.
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△AOB的面积的最大值为：27﹣18．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时， A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时， A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【解析】
【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．
【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，
根据题意，得，
解得，
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，
设总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040，
∵，∴0≤x≤200，
由于函数是一次函数，k=4＞0，
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元；
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040，
当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；
当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；
当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论．
23. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由三线合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵PD⊥AD，
∴∠ADC+∠PDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；
（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴=，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=x，
∵AB=AD=AC=1，
∴=，
解得：x=，
故AE=1-=．
【点睛】此题主要考查了余角的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由.
(3)已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.
【答案】(1) ；(2)点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大，理由见解析；(3) 点P和点Q的坐标为P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).
【解析】
【分析】
（1）将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入解析式即可解答
（2）令x＝0，y＝﹣1，得出C坐标，再利用对称轴的性质得出C1，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入直线C1B解析式，得出直线C1B的解析式，设M(t，)，则 E(t，0)，F(0，)，根据矩形的面积公式即可解答
（3）根据题意可分情况讨论①当C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，求出m即可解答；②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)，求出m即可
【详解】(1)将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：
∴该抛物线的表达式为：.
(2)在中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)
∵点C关于x轴的对称点为C1，
∴C1(0，1)，设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入得，解得，
∴直线C1B解析式，设M(t，)，则 E(t，0)，F(0，)
∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t()＝﹣(t﹣1)2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M(1，)；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大.
(3)由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：
①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，
∴|()﹣(m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，
P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)
②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，
∴PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)
∴(m+1)+()＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，
∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；
综上所述，点P和点Q的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).
【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值
25. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．
（1）求证：AC2=CD·BC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．
【详解】解：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB．
又∵E是BC的中点， ∴AE=BE，
∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，∴，
∴=CD·BC；
（2）①证明：连接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，∴AH⊥BC．
∵EG⊥AB，AE=BE，
∴点G是AB的中点，
∴HG=AG，∴∠GAH=∠GHA．
∵点F为AC的中点，
∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，
∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，
∴FH⊥GH；
②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC，
又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．
又EK=EB，∴EK=AC，
即AK=KE=EC=CA，∴四边形AKEC是菱形．
考点：（1）相似三角形的判定与性质；（2）直角三角形的性质；（3）菱形的判定.
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）