高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数一课一练

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数一课一练，共4页。试卷主要包含了1　变化率与导数等内容，欢迎下载使用。

1．1.1 变化率问题
1．1.2 导数的概念
eq \a\vs4\al\c1(双基达标 限时20分钟)
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于
( )．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(21＋Δx2－2,Δx)＝4＋2Δx.
答案 C
2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是
( )．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
解析 eq \x\t(v)＝eq \f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝4.1.
答案 B
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为
( )．
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
答案 A
4．已知函数y＝2＋eq \f(1,x)，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.
解析 Δy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－(2＋1)＝－eq \f(1,2).
答案 －eq \f(1,2)
5．已知函数y＝eq \f(2,x)，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq \f(2,1.5)－eq \f(2,2)＝eq \f(4,3)－1＝eq \f(1,3).
答案 eq \f(1,3)
6．利用导数的定义，求函数y＝eq \f(1,x2)＋2在点x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋Δx2)＋2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋2))＝eq \f(－2xΔx－Δx2,x＋Δx2·x2)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－2x－Δx,x＋Δx2·x2)，
∴y′＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(－2x－Δx,x＋Δx2·x2)＝－eq \f(2,x3)，
∴y′|x＝1＝－2.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为
( )．
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
解析 Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41.
答案 B
8．设函数f(x)可导，则 eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于
( )．
A．f′(1) B．3f′(1)
C.eq \f(1,3)f′(1) D．f′(3)
解析 根据导数的定义： eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)，
eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3)f′(1)．
答案 C
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
解析 v初＝s′|t＝0＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) (3－Δt)＝3.
答案 3
10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析 v0＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt)
＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(vt0＋Δt－vt0,Δt)＝ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(v·Δt,Δt)＝v.
答案 相等
11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解 运动方程为s＝eq \f(1,2)at2.
∵Δs＝eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)
＝at0Δt＋eq \f(1,2)a(Δt)2，
∴eq \f(Δs,Δt)＝at0＋eq \f(1,2)aΔt，
∴ eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝at0.
由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，
故at0＝8×102＝800(m/s)．
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解 由导数的定义知，
f′(x)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δf,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，
g′(x)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δg,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－x3,Δx)＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝eq \f(1－\r(7),3)或x＝eq \f(1＋\r(7),3).