数学选修2-21.1变化率与导数学案

学习目标

1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

二、新课导学

 学习探究

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度

新知：平均变化率：

试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即

=             或者=           ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即=           ；如果它们的比值，则上式就表示为                ，此比值就称为平均变化率.

反思：所谓平均变化率也就是           的增量与                的增量的比值.

 典型例题

例1 过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

变式：已知函数的图象上一点及邻近一点，则=     

例2 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001]

小结：

 动手试试

练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

练2. 已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.  

（发现：在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

三、总结提升

 学习小结

1.函数的平均变化率是                   

2.求函数的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量                     

（2）计算平均变化率                     

知识拓展

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在内的平均变化率为（    ）

A．3        B．2      C．1        D．0

2. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（    ）

A．         B．

C．           D．

3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（    ）

A．        B．

C．        D．

4.已知，从到的平均速度是_______

5. 在附近的平均变化率是____

课后作业

1.  国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器

甲中水的体积（单位：），

计算第一个10s内V的平均变化率.