人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案设计

这是一份人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案设计，共2页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习
1．确定下列函数的单调区间：
⑴ y＝x3－9x2＋24x； ⑵ y＝x－x3．（4）f (x)＝2x3－9x2＋12x－3
2．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的单调区间．
3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A )
A．充分而不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（二）举例
例1．求下列函数的单调区间
(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；
(2)
(3) .
（4） （b>0）
（5）判断的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）
例2．（1）求函数的单调减区间.
（2）讨论函数的单调性.
（3）设函数f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a≥–1，求f (x)的单调区间.
（1）解：y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2)，令y′＜0得(x – a) (x – a2)＜0.
（1）当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
（2）当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2, a)；
（3）当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
（4）a = 0，a = 1时，y′≥0此时，无减区间.
综上所述：
当a＜0或a＞1时的函数的单调减区间为(a, a2)；
当0＜a＜1时的函数的单调减区间为(a2, a)；
当a = 0，a = 1时，无减区间.
（2）解：∵， ∴f (x)在定义域上是奇函数.
在这里，只需讨论f (x)在(0, 1)上的单调性即可.
当0＜x＜1时，f ′ (x) ==.
若b＞0，则有f ′ (x)＜0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递减的；
若b＜0，则有f ′ (x)＞0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递增的.
由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：
当b＞0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递减的；
当b＜0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递增的.
（3）解：由已知得函数f (x)的定义域为 (–1, +∞)，且(a≥–1).
（1）当–1≤a≤0时，f ′ (x)＜0，函f (x)在(–1, +∞)上单调递减.
（2）当a＞0时，由f ′ (x) = 0，解得.
f ′ (x)、f (x)随x的变化情况如下表：
从上表可知，
当x∈时，f ′ (x)＜0，函数f (x)在上单调递减.
当x∈时，f ′(x)＞0，函数f (x)在上单调递增.
综上所述，当–1≤a≤0时，函数f (x)在(–1, +∞)上单调递减；
当a＞0时，函数f (x)在上单调递减，函数f (x)在上单调递增.
作业：《习案》作业八。
x
f ′ (x)
–
0
+
f (x)
↘
极小值
↗