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    《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案2(新人教A版选修2-2)

    《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案2(新人教A版选修2-2)第1页
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    人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案设计

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    这是一份人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案设计,共2页。教案主要包含了教学目标,教学重点,教学过程等内容,欢迎下载使用。
    二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
    教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.
    三、教学过程
    (一)复习
    1.确定下列函数的单调区间:
    ⑴ y=x3-9x2+24x; ⑵ y=x-x3.(4)f (x)=2x3-9x2+12x-3
    2.讨论二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的单调区间.
    3.在区间(a, b)内f'(x)>0是f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A )
    A.充分而不必要条件 B.必要但不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    (二)举例
    例1.求下列函数的单调区间
    (1) f (x)=x-lnx(x>0);
    (2)
    (3) .
    (4) (b>0)
    (5)判断的单调性。
    分三种方法:(定义法)(复合函数)(导数)
    例2.(1)求函数的单调减区间.
    (2)讨论函数的单调性.
    (3)设函数f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1),其中a≥–1,求f (x)的单调区间.
    (1)解:y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2),令y′<0得(x – a) (x – a2)<0.
    (1)当a<0时,不等式解集为a<x<a2此时函数的单调减区间为(a, a2);
    (2)当0<a<1时,不等式解集为a2<x<a此时函数的单调减区间为(a2, a);
    (3)当a>1时,不等式解集为a<x<a2此时函数的单调减区间为(a, a2);
    (4)a = 0,a = 1时,y′≥0此时,无减区间.
    综上所述:
    当a<0或a>1时的函数的单调减区间为(a, a2);
    当0<a<1时的函数的单调减区间为(a2, a);
    当a = 0,a = 1时,无减区间.
    (2)解:∵, ∴f (x)在定义域上是奇函数.
    在这里,只需讨论f (x)在(0, 1)上的单调性即可.
    当0<x<1时,f ′ (x) ==.
    若b>0,则有f ′ (x)<0,∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递减的;
    若b<0,则有f ′ (x)>0,∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递增的.
    由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,从而有如下结论:
    当b>0时,函数f (x)在(–1, 1)上是单调递减的;
    当b<0时,函数f (x)在(–1, 1)上是单调递增的.
    (3)解:由已知得函数f (x)的定义域为 (–1, +∞),且(a≥–1).
    (1)当–1≤a≤0时,f ′ (x)<0,函f (x)在(–1, +∞)上单调递减.
    (2)当a>0时,由f ′ (x) = 0,解得.
    f ′ (x)、f (x)随x的变化情况如下表:
    从上表可知,
    当x∈时,f ′ (x)<0,函数f (x)在上单调递减.
    当x∈时,f ′(x)>0,函数f (x)在上单调递增.
    综上所述,当–1≤a≤0时,函数f (x)在(–1, +∞)上单调递减;
    当a>0时,函数f (x)在上单调递减,函数f (x)在上单调递增.
    作业:《习案》作业八。
    x
    f ′ (x)

    0
    +
    f (x)

    极小值

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