高中人教版新课标A2.3数学归纳法知识点教案设计

选修2-2 《数学归纳法》 教案

一. 教学内容：

数学归纳法

二. 重点、难点：

数学归纳法步骤：

    （1）（归纳奠基）证明当取第一个值（）时命题成立。

    （2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当1时命题也成立。

【典型例题】

[例1] 求证：。

证明：

（1），左右，成立

（2）假设时成立

即：

当时，左=

=右

即时，成立

综上所述，由（1）（2）对一切命题成立。

[例2] 求证：

证明：

（1），左=4－18=－14=（—1）×2×7=右

（2）假设时成立

即：

当时

左

=右

即：n=k+1时成立

综上所述由（1）（2）命题对一切成立

另解：令中，

∴

[例3] 求证：

证明：

（1）n=1  左=1+1=2=右

（2）假设n=k时成立

即：

当时，左

欲证：左右

∴ 左边    ∴ 时成立

综上所述由（1）（2）对一切命题成立

[例4] 对于，2，求证：。

证明：

（1），左右

（2）假设n=k时成立

即：

当时，左=

右

即时成立

综上所述由（1）（2）对一切，命题成立

[例5] 对于，求证：，可被整除。

证明：

（1），左成立

（2）假设n=k时成立

即：

当时，

∴ 时成立

综上所述由（1）（2）对一切

[例6] 求证：，可被17整除。

证明：

（1）n=0，左=15+2=17成立

（2）假设n=k成立

即，M∈N

当时，

[例7] 是否存在常数使对一切恒成立。

证明：令

下证明对一切

恒成立

（1）n=1时，显然成立

（2）假设n=k时成立

当时，左

∴ 时成立

综上所述由（1）（2）对一切命题成立

[例8] 数列满足，，求。

解：，

∴ 推测

证明：

（1）n=1成立

（2）假设n=k成立

即

当时，

∴ 成立

综上所述对一切，成立

[例9] （为常数），试判断是否为数列中的一项。

证明：

推测

（1）成立

（2）假设n=k成立

即，时，

成立

综上所述对一切，成立

∴ p不是中的一项

[例10] 数列满足

（1）求证：对一切成立；

（2）令，，试比较与大小关系。

（1）① 成立

② 假设n=k时成立，即

当n=k+1时，

∴       ∴ 时成立

综上所述由①②对一切，

（2）

∴ ，

[例7] 【模拟试题】

1. 用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ）

A.     B.

C.    D.

3. 用数学归纳法证明：“”，在验证时，左端计算所得的项为（    ）

    A. 1    B.     C.     D.

4. 设，那么等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

5. 使不等式对任意的自然数都成立的最小值为（    ）

    A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

6. 若命题对n=k成立，则它对也成立，又已知命题成立，则下列结论正确的是（   ）

A. 对所有自然数n都成立

B. 对所有正偶数n成立

C. 对所有正奇数n都成立

D. 对所有大于1的自然数n成立

7. 数列满足，且（），则（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想（    ）

    A.     B.      C.     D.

9. 函数的最大值不大于，又时，

（1）求

（2）设，，求证：

10. 设为常数，证明对任意

【试题答案】

1. B    2. B    3. C    4. D    5. D    6. B    7. A    8. B

9. 证明：

（1）n=1   成立

（2）假设时成立

即，当n=k+1时，

∴ 成立

综上所述对一切，

10. 证明：（1）n=1，成立

（2）假设n=k时成立

即

当时，

∴ 成立

综上所述对一切命题成立