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人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法当堂检测题
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这是一份人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法当堂检测题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
数学归纳法 测试题一、选择题1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 答案:A 2.结论为:能被整除,令验证结论是否正确,得到此结论成立的条件可以为( )A. B.且 C.为正奇数 D.为正偶数 答案:C 3.在中,,则一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案:C 4.在等差数列中,若,公差,则有,类经上述性质,在等比数列中,若,则的一个不等关系是( )A. B.C. D. 答案:B 5.(1)已知,求证,用反证法证明时,可假设,(2)已知,,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1,即假设,以下结论正确的是( )A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确;的假设错误D.的假设错误;的假设正确 答案:D 6.观察式子:,,,,则可归纳出式子为( )A.B.C.D. 答案:C 7.如图,在梯形中,.若,到与的距离之比为,则可推算出:.试用类比的方法,推想出下述问题的结果.在上面的梯形中,延长梯形两腰相交于点,设,的面积分别为,且到与的距离之比为,则的面积与的关系是( )A. B.C. D. 答案:C 8.已知,且,则( )A. B.C. D. 答案:B 9.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程有有理根,那么中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( )A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数 答案:B 10.用数学归纳法证明,从到,左边需要增乘的代数式为( )A. B. C. D. 答案:B 11.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数,,,其中,且,下面正确的运算公式是( )①;②;③;④;A.①③ B.②④ C.①④ D.①②③④ 答案:D 12.正整数按下表的规律排列 则上起第2005行,左起第2006列的数应为( )A. B. C. D. 答案:D 二、填空题13.写出用三段论证明为奇函数的步骤是 . 答案:满足的函数是奇函数, 大前提, 小前提所以是奇函数. 结论 14.已知,用数学归纳法证明时,等于 . 答案: 15.由三角形的性质通过类比推理,得到四面体的如下性质:四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心,那么原来三角形的性质为 . 答案:三角形内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心 16.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图: 设第个图有个树枝,则与之间的关系是 . 答案: 三、解答题17.如图(1),在三角形中,,若,则;若类比该命题,如图(2),三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有什么结论?命题是否是真命题. 解:命题是:三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有是一个真命题.证明如下:在图(2)中,连结,并延长交于,连结,则有.因为面,,所以.又,所以.于是. 18.如图,已知矩形所在平面,分别是的中点.求证:(1)平面;(2). 证明:(1)取的中点,连结.分别为的中点.为的中位线,,,而为矩形,,且.,且.为平行四边形,,而平面,平面,平面.(2)矩形所在平面,,而,与是平面内的两条直交直线,平面,而平面,.又,. 19.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大. 证明:(分析法)设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,正方形的面积为.因此本题只需证明.要证明上式,只需证明,两边同乘以正数,得.因此,只需证明.上式是成立的,所以.这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积最大. 20.已知实数满足,,求证中至少有一个是负数. 证明:假设都是非负实数,因为,所以,所以,,所以,这与已知相矛盾,所以原假设不成立,即证得中至少有一个是负数. 21.设,(其中,且).(1)请你推测能否用来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 解:(1)由,又,因此.(2)由,即,于是推测.证明:因为,(大前提).所以,,,(小前提及结论)所以. 22.若不等式对一切正整数都成立,求正整数的最大值,并证明结论. 解:当时,,即,所以.而是正整数,所以取,下面用数学归纳法证明:.(1)当时,已证;(2)假设当时,不等式成立,即.则当时,有.因为,所以,所以.所以当时不等式也成立.由(1)(2)知,对一切正整数,都有,所以的最大值等于25.
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