高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法课后测评

高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题

一、选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）

Ａ．充分条件  Ｂ．必要条件  Ｃ．充要条件  Ｄ．等价条件

答案：Ａ

2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）

Ａ．  Ｂ．且  Ｃ．为正奇数  Ｄ．为正偶数

答案：Ｃ

3．在中，，则一定是（　　）

Ａ．锐角三角形  Ｂ．直角三角形  Ｃ．钝角三角形  Ｄ．不确定

答案：Ｃ

4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）

Ａ．    Ｂ．

Ｃ．    Ｄ．

答案：Ｂ

5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，

（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）

Ａ．与的假设都错误

Ｂ．与的假设都正确

Ｃ．的假设正确；的假设错误

Ｄ．的假设错误；的假设正确

答案：Ｄ

6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：Ｃ

7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｃ

8．已知，且，则（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．   Ｄ．

答案：Ｂ

9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）

Ａ．假设都是偶数

Ｂ．假设都不是偶数

Ｃ．假设至多有一个是偶数

Ｄ．假设至多有两个是偶数

答案：Ｂ

10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）

Ａ．  Ｂ．   Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｂ

11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（　　）

①；

②；

③；

④；

Ａ．①③  Ｂ．②④  Ｃ．①④  Ｄ．①②③④

答案：Ｄ

12．正整数按下表的规律排列

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｄ

二、填空题

13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．

答案：满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提

，　　小前提

所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　   结论

14．已知，用数学归纳法证明时，等于　　　　　．

答案：

15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为　　　　　．

答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心

16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．

答案：

三、解答题

17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．

解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．

证明如下：

在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．

因为面，，所以．

又，所以．

于是．

18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．

求证：（1）平面；（2）．

证明：（1）取的中点，连结．

分别为的中点．

为的中位线，

，，而为矩形，

，且．

，且．

为平行四边形，，而平面，平面，

平面．

（2）矩形所在平面，

，而，与是平面内的两条直交直线，

平面，而平面，

．

又，．

19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，

正方形的面积为．

因此本题只需证明．

要证明上式，只需证明，

两边同乘以正数，得．

因此，只需证明．

上式是成立的，所以．

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．

20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．

证明：假设都是非负实数，因为，

所以，所以，，

所以，

这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．

21．设，（其中，且）．

（1）请你推测能否用来表示；

（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

解：（1）由，

又，

因此．

（2）由，即，

于是推测．

证明：因为，（大前提）．

所以，，，（小前提及结论）

所以．

22．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．

解：当时，，即，

所以．

而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．

（1）当时，已证；

（2）假设当时，不等式成立，即．

则当时，

有

．

因为，

所以，

所以．

所以当时不等式也成立．

由（1）（2）知，对一切正整数，都有，

所以的最大值等于25．

高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题

一、选择题

1．下面使用的类比推理中恰当的是（　　）

Ａ．“若，则”类比得出“若，则”

Ｂ．“”类比得出“”

Ｃ．“”类比得出“”

Ｄ．“”类比得出“”

答案：Ｃ

2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）

Ａ．25  Ｂ．66  Ｃ．91  Ｄ．120

答案：Ｃ

3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）

Ａ．①  Ｂ．②  Ｃ．③  Ｄ．①和②

答案：Ｂ

4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）

Ａ．1  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｄ

5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）

Ａ．分析法  Ｂ．综合法  Ｃ．分析法和综合法综合使用  Ｄ．间接证法

答案：Ｂ

6．要使成立，则应满足的条件是（　　）

Ａ．且  Ｂ．且

Ｃ．且  Ｄ．且或且

答案：Ｄ

7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）

Ａ．三角形  Ｂ．梯形  Ｃ．平行四边形  Ｄ．矩形

答案：Ｃ

8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）

Ａ．有两个内角是钝角  Ｂ．有三个内角是钝角

Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角

答案：Ｃ

9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）

Ａ．  Ｂ．

Ｃ．     Ｄ．

答案：Ａ

10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．不可类比

答案：Ｃ

11．已知，，，则以下结论正确的是（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．，大小不定

答案：Ｂ

12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：Ｂ

二、填空题

13．已知，则中共有　　　　项．

答案：

14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，

，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．

答案：当时，有

15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．

答案：

16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．

答案：

三、解答题

17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．

证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．

设，则．

是偶数，

是奇数，这与已知是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，一定是偶数．

18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．

证明如下：

设等差数列的公差为，则，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

19．已知，且，求证：．

证明：因为，且，

所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，

即证，从而只需证明，

即，

因为，，

所以成立，故原不等式成立．

20．用三段论方法证明：．

证明：因为，所以（此处省略了大前提），

所以（两次省略了大前提，小前提），

同理，，，

三式相加得．

（省略了大前提，小前提）

21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：

．

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，猜想成立；

（2）假设当时，猜想成立，即，

则当时，

，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．

22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在，使得所给等式成立．

令代入等式得解得

以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．

（1）当时，由以上可知等式成立；

（2）假设当时，等式成立，即，

则当时，

．

由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．