数学选修2-22.3数学归纳法达标测试

数学归纳法 测试题

一、选择题

1．下面使用的类比推理中恰当的是（　　）

Ａ．“若，则”类比得出“若，则”

Ｂ．“”类比得出“”

Ｃ．“”类比得出“”

Ｄ．“”类比得出“”

答案：Ｃ

2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）

Ａ．25  Ｂ．66  Ｃ．91  Ｄ．120

答案：Ｃ

3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）

Ａ．①  Ｂ．②  Ｃ．③  Ｄ．①和②

答案：Ｂ

4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）

Ａ．1  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｄ

5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）

Ａ．分析法  Ｂ．综合法  Ｃ．分析法和综合法综合使用  Ｄ．间接证法

答案：Ｂ

6．要使成立，则应满足的条件是（　　）

Ａ．且  Ｂ．且

Ｃ．且  Ｄ．且或且

答案：Ｄ

7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）

Ａ．三角形  Ｂ．梯形  Ｃ．平行四边形  Ｄ．矩形

答案：Ｃ

8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）

Ａ．有两个内角是钝角  Ｂ．有三个内角是钝角

Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角

答案：Ｃ

9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）

Ａ．  Ｂ．

Ｃ．     Ｄ．

答案：Ａ

10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．不可类比

答案：Ｃ

11．已知，，，则以下结论正确的是（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．，大小不定

答案：Ｂ

12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：Ｂ

二、填空题

13．已知，则中共有　　　　项．

答案：

14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，

，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．

答案：当时，有

15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．

答案：

16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．

答案：

三、解答题

17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．

证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．

设，则．

是偶数，

是奇数，这与已知是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，一定是偶数．

18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．

证明如下：

设等差数列的公差为，则，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

19．已知，且，求证：．

证明：因为，且，

所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，

即证，从而只需证明，

即，

因为，，

所以成立，故原不等式成立．

20．用三段论方法证明：．

证明：因为，所以（此处省略了大前提），

所以（两次省略了大前提，小前提），

同理，，，

三式相加得．

（省略了大前提，小前提）

21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：

．

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，猜想成立；

（2）假设当时，猜想成立，即，

则当时，

，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．

22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在，使得所给等式成立．

令代入等式得解得

以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．

（1）当时，由以上可知等式成立；

（2）假设当时，等式成立，即，

则当时，

．

由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．