高中人教版新课标A2.3数学归纳法多媒体教学ppt课件

这是一份高中人教版新课标A2.3数学归纳法多媒体教学ppt课件，共19页。PPT课件主要包含了数学归纳法的应用，证不等式问题，思考题，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
学习目标：掌握数学归纳法的基本思想。掌握数学归纳法的基本步骤。重点：数学归纳法的基本思想的理解。难点：利用数学归纳法证明。课时：一课时。
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
1、观察、归纳、猜想、证明2、证明恒等式问题3、证明不等式问题4、证平面几何问题5、证明整除性问题
一、观察、归纳、猜想、证明：
例2:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
故当n=k+1时,结论也正确.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
例3:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 猜想当n≥5时，2n>n2
例3．求证：当n≥5时，2n>n2，
证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此25>52，即n=5时，结论正确；
（2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，那么由2k>k2得
这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.
由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。
三、证几何问题：例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,---则: f(n)=n2.
(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
例4．求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.
证明： (1) n=1时，71+1=8能被8整除；
(2) 假设n=k (k为正奇数)时7k+1能被8整除 (设7k+1=8M，M∈N)则当n=k+2时，7k+2+1=72·7k+72－72+1=72(7k+1)－48=49×8m－8×6 =8(49M－6)∵49M－6∈N  ∴命题成立
由（1）、（2）可知当n为正奇数时 7n+1能被8整除．
巩固练习：1、证明：平面上n个圆最多把平面分成n2－n+2个区域。
证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2－n+2=2，因此结论当n=1时成立；
（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2－k+2个区域。 在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，
这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确， 由（1）和（2）可以断定，结论对任何n∈N+都正确。
练习2．求证：凸n边形的对角线的条数为
证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.
（2）设凸k边形的对角线的条数为
当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,
该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)条对角线,
即n=k+1时，命题成立。
由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线的条数为
n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 　　　　------的条数f(n+1)=f(n)+_________.
作业练习A 3练习B 1