人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法图文ppt课件

这是一份人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法图文ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了正整数n，框图表示，nkk≥n0，nk+1，条件分析，失分警示等内容，欢迎下载使用。
数学归纳法1.概念：一般地，证明一个与________有关的命题，可按下列步骤进行.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
提示：(1)错误.数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学命题，但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明.(2)错误.数学归纳法的第一步n0不一定为1，要视具体情况而定.(3)正确.根据数学归纳法的定义可知，两个步骤缺一不可.答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】1.数学归纳法的实质数学归纳法是一种以数字归纳原理(即自然数归纳公理)为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程.所以它是证明有关自然数问题的有力工具.
2.数学归纳法两个步骤的联系第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了.
3.数学归纳法证题的口诀数归证题真是妙，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
类型 一 用数学归纳法证明等式【典型例题】1.用数学归纳法证明某等式，其左边= 则从n=k到n=k+1左边增加的项是__________.2.用数学归纳法证明：
【解题探究】1.题1中，n=k+1时，左边的代数式是什么？2.题2中，由n=k到n=k+1等式左边增加了什么项？探究提示：1.n=k+1时，左边=2.n=k到n=k+1,等式左边增加的项为
【解析】1.当n=k时，左边=当n=k+1时，左边=所以n=k到n=k+1左边增加的项是 答案：
2.(1)当n=1时，等式左边=等式右边=等式左边=等式右边，所以等式成立.
(2)假设n=k(k∈N*，且k≥1)时等式成立，即有则当n=k+1时，
===所以当n=k+1时，等式也成立，由(1)，(2)可知，对于一切n∈N*,等式都成立.
【互动探究】将题1等式的右边改为“ ”，左边不变，试用数学归纳法证明.【证明】即证=(1)当n=1时，左边= 右边= 所以等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,n∈N*)时命题成立，即 成立.那么当n=k+1时,
即n=k+1时，等式也成立.综上所述，对于任何正整数n，等式都成立.
【拓展提升】数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1, n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点.
(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项.增加怎样的项.
(3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
【变式训练】(2013·台州高二检测)请观察以下三个式子：(1)1×3=(2)1×3+2×4=(3)1×3+2×4+3×5=归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.
【解析】结论：1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)=证明：①当n=1，左边=3,右边=3,所以左边=右边.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，命题成立,即1×3+2×4+3×5+…+k(k+2)=
则当n=k+1时,1×3+2×4+…+k(k+2)+(k+1)(k+3)==所以当n=k+1时命题成立，由①②知，命题成立.
类型 二 数学归纳法证明不等式【典型例题】1.用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式( )A. B.C. D.2.已知n∈N*,n>2，求证
【解题探究】1.题1中，左边代数式的分母具有什么特点？2.题2中，第1个要证明的n的取值是什么？n=k+1时，要证明的不等式是什么？
探究提示：1. 中，分母为连续的自然数，n=k时,左边表示从1开始的连续的2k-1个自然数的倒数的和.2.第1个取值n0=3,n=k+1时要证明的不等式是
【解析】1.选B.因为n∈N*，n>1，所以n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为 故选B.2.(1)当n=3时，左边= 右边=左边>右边，不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥3)时，不等式成立，即当n=k+1时，
因为所以所以当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对一切n∈N*，n>2，不等式成立.
【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的四个关键
【变式训练】用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*).【解题指南】由题目可知第一个n0=2，证明中应用归纳假设后可采用比较法.
【证明】(1)当n=2时，左边=右边= 左边因为
所以> 所以当n=k+1时，不等式成立.由(1)，(2)可知，对于任意正整数n，不等式成立.
1.用数学归纳法证明 (n∈N*)时，第一步需要证明( )
【解析】选C.因为n≥2,故第一步需验证n=2时是否成立，即需要证明
2.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n=k+1时，该命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】选C.原命题正确，则逆否命题正确.故应选C.
3.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4【解析】选D.在等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N*)中，当n=1时，n+3=4，而等式左边是起始为1的连续的正整数的和，故当n=1时，等式左边的项为1+2+3+4，故选D.
4.用数学归纳法证明|n2-5n+5|≠1时，需证明的第一个n值是_______.【解析】验证可知.n=1,2,3,4时，|n2-5n+5|=1,n=5时，|52-5×5+5|≠1,n=6时，|62-5×6+5|≠1,所以需验证的第一个n值应为5.答案：5
5.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时，表达式为_______.【解析】根据关系式的特征知，当n=k+1时，表达式应为1×4+2×7+…+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2.答案：1×4+2×7+…+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
6.已知数列{an}满足an+1= an2- nan+1(n∈N*),且a1=3.计算a2,a3,a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明.【解析】a2=4,a3=5,a4=6,猜想：an=n+2(n∈N*).下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=3,结论成立;