人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算课时作业

这是一份人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
图
1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于（ ）
A．85 B． C． D．50
4．与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A．（，1，1） B．（－1，－3，2）
C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定
8．空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cs=（）
A．B．C．D．0
9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
10． 已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．
12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 ．
13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是 ．
14．已知向量，，若成1200的角，则k= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．
16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
图
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求csθ的值
17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．
18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积；
（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：
（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．
19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cs< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；
（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
参考答案
一、1．A；解析：=+（－）=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．
3．B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．
4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．
5．C；解析：，计算结果为－1．
6．B；解析：显然．
7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
8．D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．
9．D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．
10．C；
二、
11．；解析：，得，可得结果．
12． ；
解析：
13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．
14．；解析：，得．
三、
15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．
由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．
根据空间两点距离公式，可得
．
16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB－BE=OB－BD·cs60°=1－.
∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.
（2）依题意：，
所以.
设向量和的夹角为θ，则
csθ=.
17． 证：如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：
展开得
∴，∵≠，≠，
∴⊥（）即SA⊥BC．
同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．
18． （1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.
又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.
∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.
（2）解：设与的夹角为θ，则
csθ=
V=||·||·sinθ·||=
（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
图
19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=
∴cs=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
20．（1）证明：设=，=，=，则| |=||，∵=－，
∴·=（－）·=·－·=||·||cs60°－||·||cs60°=0，
∴C1C⊥BD.
（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.
∵（+），（+）－
∴·（+）·［（+）－］
=（2+2·+2）－·－·
=（4+2·2·2cs60°+4）－·2·cs60°－·2·cs60°=.
则||=，||=，∴csC1OC=
（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.
∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C
∴只须求满足：=0即可.
设=，=，=，
∵=++，=－，
∴=（++）（－）=2+·－·－2=－6，
令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.
评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.