2021学年3.1空间向量及其运算教学设计

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第三章 间向量与立体几何

§3.1　空间向量及其运算




　　　　　　　　　　　　　　　　　　


知识点一　空间向量概念的应用
　给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;
④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
与与的方向相同，模也相等，应有＝；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.
答案　C
知识点二　空间向量的运算
化简：（ ） ( )
解 方法一 （ ）()=+
=+++=（+）+（+）=+=0。
方法二 （）()=+
=（）+（）=+=0。
在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，试用
b，c，d表示向量，、，，和。
解 如图所示
=+=db,
=+=cb,
=+=dc,
=(+)
=(b d+cd)= (b+c2d),
=+=d+,
=d+( b+c2d)=(b+c+d).



知识点三　证明共线问题


　已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且
=,=.求证：四边形EFGH是梯形.
证明 ∵E、H分别是AB、AD的中点
所以 =,=,
=-= =()=
=（-）={-}
=（）=,∴四边形EFGH是梯形.
知识点四　证明共面问题
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点.
证明：向量，，是共面向量.








证明 方法一 如图所示.=+ +
= +-
=（ ）。
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量。





方法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)，
则有FGDD1，BE DD1，
∴FGBE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.
∴，，都与平面A1BD平行
∴，，共面.
知识点五　数量积的运算


　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算
（1）·;(2) ·;(3) ·.
解 (1）·=·||=||·||·cos<·>60°=,所以·=,
（2）·=||·||·cos<,>=×1×1×cos0°=,
所以 ·=,(3) ·=·
=||·||·cos<,>=×1×1×cos120°
=-，
所以 ·=-，

知识点六　数量积的应用

　已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
如图所示，设=a, =b, =c, 则a·b=b·c=c·a=，
|a|=|b|=|c|=1，=(a+b),= c-b,
·=(a+b)·{c-b}
={a ·c + b·c - a·b -|b|2 }
= ×{ + - - 1 } = -,


∴cos〈,〉===
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.

　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．









　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 如图所示，设 = a ， = b，= c ，
则a·b = 0， b·c = 0， c·a = 0，
且|a| = |b| = |c| ，
而 =+=+(+)=e + (a + b),
= - = b – a , = +
=(+) + = (a + b ) - c
∴· = { c + a + b}·(b –a )
= c·( b – a ) + ( a + b) ·( b – a )
= c·b - c ·a + (|b|2 - | a |2
· = { c + a +b} – { a + b - c}
=( |a|2 +|b|2) - |c|2=0
∴A1O平面BDG

知识点七　空间向量的坐标运算

　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐
(1) = ( );
(2) = ( );
解 = （2，6，3），=（4，3，1）。
（1）=( ) =(6 , 3 , 4 )={3,, 2},
则P点的坐标为{3，，2）.
(2)设P（x,y,z）则， =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ）.
又因为( - )= (3,,-2),
所以x=5, y= , z=0,
故P点坐标为（5，，0）.
知识点八　坐标运算的应用

　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值；
(3)求FH的长.
解　

如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点，则有

E（0，0，）、F（，，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，，0）..
（1）=（，，0）-（0，0，）={，， ），
=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）.
∴ ·= ×(-1)+ ×0+(-)×(-1)=0,
∴EF⊥B1C,即EF⊥B1C.
(2)∵ =（0, ,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.
∴||= 又·=×0+×（-）+（-）×(-1)=,

||= ,∴cos〈E,〉=

=
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
（3）∵F（，，0）、H（0，，），
∴ =（-，，），
∴||=
　在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
解　

建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），
B1（2，3，2），E（1，3，0）.
∴=（-2，0，2），
 =（1，0， 2），
∴cos〈,〉=


∴AO1与B1E所成角的余弦值为

（2）由题意得⊥，∥，
∵C（0，3，0），设D（x,y,0）,
∴ = (x,y, 2), = (x 2,y,0), = (2,3,0),


∴ 解得


∴D(,,0 ) ∴|O1D| = |O1D| =







考题赏析

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(福建高考)

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
(1)证明　在△PAD中，PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（2）解以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O—xyz.
则A（0， 1，0），B（1， 1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以=（1，1，0），
 =（1， 1， 1），
cos〈，〉=,






所以异面直线PB与CD所成角的余弦值为.
(3)解　由(2)得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD＝·2＝.
又S△ACD＝AD·AB＝1，设点A到平面PCD的距离为h，由VP—ACD＝VA—PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，解得h＝.
2．(四川高考)

如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(3)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
解　由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．
如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系A—xyz.
(1)证明　设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得

A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，
G(0,0，c)，H(0，b，c)．所以， =（0，b，0），=（0，b，0），于是 = 又点G不在直线BC上，
所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）解 C、D、F、E四点共面.
理由如下：由题设知F（0，0，2c），
所以 =（-a，0，c）， =（-a，0，c）， =.
又C EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面.
（3）证明 由 AB=BE，得c = a，
所以 =（a，0，a）， =（a，0，a）.
又=（0，2b，0），因此·=0，·= 0.
即CH⊥AE，CH⊥AD.
又AD∩AE=A，
所以CH⊥平面ADE.
故由CH∩平面CDFE，
得平面ADE⊥平面CDE.


.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是(　　)
A．共线向量 B．共面向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
答案　B
解析　如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面，故选B.
2．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　)
A．α内任意一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
答案　D
解析　当a与b是共线向量时，A不正确，当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确，若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，选D.
3．有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若 = x+y ，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则 = x+y
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
答案　B
解析 命题①③正确，命题②④不正确.因命题②中若a∥ b，则p不能用a， b表示，命题④中，若M、A、B三点共线，则也不能用、表示.
4. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，· = 0，· = 0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　B
5．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)



A.6 B．6 C．12 D．144
答案　C
解析 因为 =++，所以2=2+2+ 2+2· = 36+36+36+2×36cos60 =144.
所以||=12.
6．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(　　)
A. B．(2,3,1)
C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
答案　D
7. 在△ABC中，已知=（2，4，0），=（1，3，0），则∠ABC=____.
答案 135°
解析 因为 =（2， 4，0）， =（1，3，0），所以· = 2 12+0 = 10，|| = ,
||=,所以cos〈,〉=
==
.所以∠ABC=135°.
8．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C—AB—D的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于________．
答案　

9. 已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有 =2+ +λ，则λ=_____..
答案.
解析 因为P、A、B、C四点共面，
所以=x+y+z，
且x+y+z = 1，所以2 + +λ=1，得λ=
10．命题①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共面，则它们所在直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa；④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中真命题是________．
答案　④
解析　①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a，b，c所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题．
11．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案　－
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，a2＋λa·b＋a·b＋λb2＝0,18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋16λ＝0,4λ＋6＝0，λ＝－.
12. 在四面体O-ABC中，=a， =b， =c，D为BC的中点，E为AD的中点，则= _____（用a， b， c表示）.
答案　a＋b＋c
解析 如下图由三角形法则，易得= = b a，
= =c b， ==（c b），
= + =b + c a，
= =b + c a ，
所以 =+= a + b + c a = a + b +c.



13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别为棱AD、PC的中点．求异面直线EF和PB所成的角的大小．

解　以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

∵E为AD中点，∴E（0，1，0）.
又F为PC中点，∴F（1，1，1）.
∴=（1，0，1）.
又=（2，0，2），
∴cos〈 ，〉=
∴〈·〉=90°.
∴异面直线EF和PB所成角的大小为90°.
14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
（1）求以、为边的平行四边形的面积;
（2）若|a|= 且a分别与、垂直，求向量a的坐标.
解 =（2， 1，3）， = （1， 3，2），

（1）∵cosθ= =
∴sinθ =
∴S=||·||sinθ=7.
即以、为边的平行四边形面积为7.

（2）设a =（x，y，z），
由|]a|= ， a⊥，a⊥可得

⇒或
∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).