人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明综合训练题

直接证明与间接证明 课下练兵场

一、选择题

1.设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为                            (　　)

A.a＞b　　　　　　　　B.a＜b

C.a＝b                D.a≤b

解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，

而b＝ex＜e0＝1故a＞b.

答案：A

2.设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数    (　　)

A.至少有一个不大于2              B.都小于2

C.至少有一个不小于2              D.都大于2

解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，

因此a，b，c至少有一个不小于2.

答案：C

3.设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的                          (　　)

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件

C.充要条件               D.既不充分也不必要条件

解析：若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－)2＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件.

答案：A

4.若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是                               (　　)

A.a＋＞b＋       B.＞       C.a＋＞b＋        D.＞

解析：∵a＞b＞0，∴＞.

又a＞b，∴a＋＞b＋.

答案：A

5.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是         (　　)

A.P＞Q      B.P＝Q       C.P＜Q        D.由a的取值确定

解析：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，

只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，

只要证： a2＋7a＜a2＋7a＋12，

只要证：0＜12，

∵0＜12成立，∴P＜Q成立.

答案：C

6.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形.

由

那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾.

所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形.

答案：D

二、填空题

7.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b＝，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立一个等式可以是　　　　.

解析：∵a※b＝，b※a＝，

∴a※b＋c＝b※a＋c

答案：a※b＋c＝b※a＋c

8.如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是　　　　.

解析：∵a＋b＞a＋b⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.

答案：a≥0，b≥0且a≠b

9.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是　　　　(填所有正确条件的代号).

①x为直线，y，z为平面；  ②x，y，z为平面；

③x，y为直线，z为平面；  ④x，y为平面，z为直线；

⑤x，y，z为直线.

解析：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，

∴x∥平面y或x⊂平面y.

又∵x⊄平面y，故x∥y成立.

②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立.

③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立.

④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立.

⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立.

答案：①③④

三、解答题

10.设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，

f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.

证明：f(0)＞0，∴c＞0，

又∵f(1)＞0，即3a＋2b＋c＞0.①

而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，

∴3a－2a－2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.

∴a＞c＞0.又∵a＋b＝－c＜0，∴a＋b＜0.

∴1＋＜0，∴＜－1.

又c＝－a－b，代入①式得，

3a＋2b－a－b＞0，∴2a＋b＞0，

∴2＋＞0，∴＞－2.故－2＜＜－1.

11.已知a＞0，求证： －≥a＋－2.

证明：要证 －≥a＋－2，

只要证 ＋2≥a＋＋.

∵a＞0，故只要证 ( ＋2)2≥(a＋＋)2，

即a2＋＋4 ＋4

≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，

从而只要证

2 ≥(a＋)，

只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，

故原不等式成立.

12.已知a，b，c是互不相等的实数

求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，

由y＝ax2＋2bx＋c，

y＝bx2＋2cx＋a，

y＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，

Δ2＝(2c)2－4ab≤0，

Δ3＝(2a) 2－4bc≤0.

上述三个同向不等式相加得，

4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，

∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，

∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，

∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证.