数学选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计

2.2.2  反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，

       则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，

       即O是l与m的交点。

       但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

       ∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.

二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

 注：结合准备题分析以上知识.

2. 教学例题：

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，

则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.

② 出示例2：求证是无理数.  （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为）

证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），

从而：，，可见m是3的倍数.

设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.

这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数.

③ 练习：如果为无理数，求证是无理数.

提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.

  由，则也是有理数，这与已知矛盾.  ∴ 是无理数.

3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1. 练习：教材P54  1、2题    2. 作业：教材P54  A组3题.