人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明练习题

这是一份人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明练习题，共6页。
                  20.2直接证明与间接证明【考纲要求】1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.　　2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.　　3、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【基础知识】1.分析法：从原因推导到结果的思维方法. 2.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.  3.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.4.数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.5.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.6.数学归纳法的步骤：（1）证明当n=1时，命题成立。（2）证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。由（1）（2）得原命题成立【例题精讲】例1  已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.上述三个同向不等式相加得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b) 2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．例2   已知a＞0，－＞1, 求证：＞.【证明】　证法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，要证＞，可证·＞1，即证1＋a－b－ab＞1，这只需证a－b－ab＞0，即＞1，即－＞1，而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．证法二：－＞1及a＞0，可知1＞b＞0，∵－＞1，∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得·＞1，即＞.                 20.2直接证明与间接证明强化训练【基础精练】1．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是(　　) A.＝         B.<C.＝且<      D.＝或<2．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)A．1个     B．2个     C．3个     D．4个3．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　)A．(a*b)*a＝a        B．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝b        D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b4．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|    B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2     D.－＜－ 5．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．6．如果函数f(x)的定义域为R，对于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)是不小于5的正整数，当x>1时，f(x)<0.那么具有这种性质的函数f(x)＝________.(注：填上你认为正确的一个函数即可)7．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11　　11　　2　　11　　3　　3　　11　　4　　6　　4　　1……8．试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．     9．如右图所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.      10．已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2an－3n (n∈N*)．(1)求证{an＋3}为等比数列，并求{an}的通项公式；(2)数列{an}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．    【拓展提高】1.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．     【基础精练参考答案】5. －1<a<－解析：由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)<0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－1<a<－.6. －7x＋6解析：令m＝n＝0，由f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6得f(0)＝6，设f(x)＝ax＋6，∵f(－1)＝－a＋6≥5.∴a≤1.又知当x>1时，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.∴a≤－6 (a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8…都符合要求．7. 2n－2n解析：所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.8.证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．9.证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10.证明：(1)∵Sn＝2an－3n (n∈N*)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)．(2)解答：假设数列{an}中存在三项ar，as，at (r<s<t)，它们可以构成等差数列．由(1)知ar<as<at，则2as＝ar＋at，∴6(2s－1)＝3(2r－1)＋3(2t－1)，即2s＋1＝2r＋2t，∴2s＋1－r＝1＋2t－r(*)∵r、s、t均为正整数且r<s<t，∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{an}不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列。【拓展提高参考答案】解：(1)取CD的中点G，连结MG、NG.设正方形ABCD、DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．因为MN＝，所以sin∠MNG＝为MN与平面DCEF所成角的正弦值．(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．