高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计及反思

2.2.1   综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.

（答案：若，且，则 ）

2. 已知，，求证：.

先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

3. 提问：基本不等式的形式？

4. 讨论：如何证明基本不等式.

  （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1. 教学例题：

(1).出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.

    分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）  →  板演证明过程（注意等号的处理）

   → 讨论：证明形式的特点

(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

  框图表示：    要点：顺推证法；由因导果.

(3) .练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.

(4) .出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

   分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？

 → 板演证明过程    → 讨论：证明过程的特点.

   → 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

(5). 出示例3：求证.    

   讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

  → 板演证明过程 （注意格式）

  → 再讨论：能用综合法证明吗？  → 比较：两种证法

(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

  框图表示：   要点：逆推证法；执果索因.

(7). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.

   先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

(8). 出示例4：见教材P48.   讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

(9). 出示例5：见教材P49.   讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：

1.为锐角，且，求证：. （提示：算）

2. 已知 求证：

3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

   提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q.  运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.  （框图示意）

三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，.  （教材P52 练习 1题）

   （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. 的三个内角成等差数列，求证：.

3.  设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.

略证：正弦、余弦定理代入得：，

即证：，即：，即证：（成立）.

作业：教材P54  A组 1题.