数学选修1-22.2直接证明与间接证明练习

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课时作业(六十)　[第60讲　直接证明与间接证明] [时间：45分钟　　分值：100分]1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是(　　)A．锐角三角形  B．钝角三角形C．直角三角形  D．不能确定3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥04．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．5．[2011·永州调研]  一个质点从A出发依次沿图K60－1中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A，其中：AB⊥BC，AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝(　　)图K60－1A．2  B．3  C．4  D．56．[2011·惠州调研]  已知＝ad－bc，则＋＋…＋＝(　　)A．－2008　 B．2008　 C．2010　 D．－20107．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)A．a＞b  B．a＜bC．a＝b  D．a，b大小关系不定8．使不等式<成立的条件是(　　)A．a>b  B．a<bC．a>b，且ab<0  D．a>b，且ab>0 9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是(　　)A．0  B．1  C．2  D．310．已知函数f(x)＝x，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．11．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是________．12．[2011·九江三模]  若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．13．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．14．(10分)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a.      15．(13分)已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．      16．(12分)已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，对于任意不等的两个正数x1，x2，证明：当a≤0时，>f.                         课时作业(六十)【基础热身】1．B　[解析] 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B.2．C　[解析] 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C.3．D　[解析] 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.故选D.4．x<y　[解析] x2－y2＝－(a＋b)＝＝.∵a，b是不相等的正数，∴≠，∴(－)2>0，∴<0.∴x2<y2.又∵x>0，y>0，∴x<y.【能力提升】5．B　[解析] 只需测量AB，BC，GH,3条线段的长．6．A　[解析] ＝－8，＝－8，…＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴＋＋…＋＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8＝－8×251＝－2008.故选A.7．B　[解析] 假设a≥b，即－≥－，∴＋≥2，平方得2c＋2≥4c，2c≤2，c≤，即c2≤c2－1，0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a<b.8．D　[解析] 利用分析法对条件分析可得．9．C　[解析] ①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，选C.10．A≤B≤C　[解析] 由≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.11．P＜Q　[解析] 假设P<Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．12．3＋2　[解析] 由题知直线经过圆心(2,1)，则a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋≥3＋2.13.　[解析] sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.14．[解答] 证明：要证<a，只需证b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立．15．[解答] 证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－∴0<ax0<1⇒0<－<1，解得<x0<2，这与x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根【难点突破】16．[解答] 证明：由f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，得＝(x＋x)＋＋(lnx1＋lnx2)＝(x＋x)＋＋aln，f＝2＋＋aln.而(x＋x)＝(x＋x＋x＋x)>(x＋x＋2x1x2)＝2.①∵(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，∴>.②∵<，∴ln<ln，又a≤0，∴aln≥aln.③由①②③得(x＋x)＋＋aln>2＋＋aln，即>f.