人教版新课标A选修4-1三 相似三角形的判定及性质课后练习题

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习题1.3 (第19页)
1．证明 如图，连接BE、CD.
∵∠ABE和∠ACD是同弧上的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACD.
又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).
2．证明 如图所示，(1)在△ABE和△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD.
∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,CD).
∴AB·CD＝AC·BE.
(2)在△ABC和△AED中，
∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC(或∠BAC＝∠BAE－∠EAC)，
∠EAD＝∠CAD＋∠EAC(或∠EAD＝∠CAD－∠EAC)，
又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.
又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED.
∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(BC,ED).
∴AC·ED＝AD·BC.
3．解 如图所示，设A′C′＝x.
要使△ABC∽△A′B′C′只须eq \f(a,a′)＝eq \f(b,x)即可．
∵∠A＝∠A′，∴当x＝eq \f(a′b,a)时，△ABC∽△A′B′C′.
4．作法
(1)作线段B′C′，使B′C′＝eq \f(3,2)BC；
(2)以B′为顶点，B′C′为始边，作∠D′B′C′＝∠B；
(3)在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝eq \f(3,2)AB；
(4)连接A′C′，则△A′B′C′为所作三角形．
5．证明 ∵EF∥AD∥BC，∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(EF,BC)，eq \f(HE,HA)＝eq \f(EF,AD).
∵AD＝BC，∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(HE,HA).∴eq \f(AE,HE)＝eq \f(BE,GE).
又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG.
∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB.
6．证明 ∵DE∥AB，
∴eq \f(DE,AB)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(OE,OB).①
又∵EF∥BC，∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(OE,OB)＝eq \f(OF,OC).②
∴eq \f(DE,AB)＝eq \f(EF,BC).由①、②知eq \f(OD,OA)＝eq \f(OF,OC)，
而∠FOD＝∠COA，∴△FOD∽△COA.∴eq \f(DF,AC)＝eq \f(OD,OA).
∴在△ABC和△DEF中，有eq \f(DE,AB)＝eq \f(EF,BC)＝eq \f(DF,AC).
∴△ABC∽△DEF.
7．证明 在△ACD和△BCE中，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE.
∴eq \f(AD,BE)＝eq \f(AC,BC)，即AD·BC＝BE·AC.
8．解 方案1：(1)在地面适当位置选取一点C，连接BC，测量出BC的距离；
(2)在点C竖立一根垂直于地面的标尺杆；
(3)在BC的延长线上取一点D，使点D、标尺杆的顶点E和树尖在一条直线上；
(4)测量CD的距离．
在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC、CD、CE的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB的长．(没有考虑测量仪的脚架高)
方案2：(1)在地面上选取一点C，连接BC；
(2)测出∠BCA；
(3)在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA；
(4)过D作BC的垂线，交BC于E；
(5)测量DE、CE、BC的长，由这三个量可以求得AB的长．
因为按方案2的实施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC.(没有考虑测量仪的脚架高)
方案3：(1)把一面镜子放在离树a米的点E；
(2)一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A；
(3)量得ED为b米，人的眼睛距地面的高度为c米，即可求AB的长．
因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，
所以△ABE∽△CDE.
9．证明 如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.
(1)设AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′).
又∵D、D′分别为BC、B′C′的中点，
∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(2BD,2B′D′)＝eq \f(BD,B′D′).
又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.
∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(AB,A′B′)＝k.
其余两组对应中线之比同理可证．
(2)设AE、A′E′分别是△ABC、△A′B′C′中∠A和∠A′的内角平分线．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′.
∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′.
∴eq \f(AE,A′E′)＝eq \f(AB,A′B′)＝k.
同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比．
10．解 在△AEF和△CDF中，
∵∠DCF＝∠EAF，
∠DFC＝∠EFA，
∴△AEF∽△CDF.
∴eq \f(△AEF的周长,△CDF的周长)＝eq \f(AE,CD)＝eq \f(1,3).
∴eq \f(S△AEF,S△CDF)＝k2＝eq \f(1,9).而S△AEF＝6，
∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54 (cm2)．
11．解 问题1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比．
证明：设△ABC∽△A′B′C′.AD、A′D′分别是∠A、∠A′的外角平分线，分别交BC、B′C′的延长线于D、D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.
又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4，
而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3.
∴∠BAD＝B′A′D′.
又∵∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(AB,A′B′)＝k.
问题2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC的三条边为直径，分别向△ABC外作半圆(如图所示)，同样，以△A′B′C′的三条边为直径，分别向△A′B′C′外作半圆．
则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方．
说明 将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题．
问题3：如图所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
eq \f(BD,CD)＝eq \f(B′D′,C′D′).则eq \f(AD,A′D′)＝k.
说明 该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许多新问题．在教学中应引导、启发和鼓励学生去探究、猜想．