高中数学2.2直接证明与间接证明精练

这是一份高中数学2.2直接证明与间接证明精练，共5页。试卷主要包含了证明命题，要证，设则等内容，欢迎下载使用。

随堂演练巩固
1.证明命题:”f(x)=e在上是增函数”,某同学给出的证明如下:
∵f(x)=e∴f′(x)=e.
又x>0,∴e.∴e.
也就是f′(x)>0.
∴函数f(x)在上是增函数,这位同学所使用的证明方法是( )
A.综合法B.分析法
C.反证法D.以上都不是
【答案】 A
2.分析法又叫执果索因,若使用分析法证明,设a>b>c,且a+b+c=0,求证:.索的因应
是( )
A.a-b>0B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0
【答案】 C
【解析】 要证成立,由于a>b>c,且a+b+c=0,
∴a>0,即证成立.
也就是成立.
整理可得(a-c)(2a+c)>0,
又a+c=-b,∴即证(a-c)(a-b)>0.
由于a>b>c,∴a-b>0且a-c>0.
也就是不等式(a-c)(a-b)>0显然成立.
故若用分析法证本题,索的因应是C项.
3.用反证法证明命题“如果a>b,那么”时,假设的内容是 .
【答案】
【解析】 “如果a>b,那么”若用反证法证明,其假设为.
4.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况逐一
驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内一点
求证:.用反证法证明时应分:假设 和 两类.
【答案】
课后作业夯基
基础巩固
1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件D.等价条件
【答案】 A
2.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( )
A.综合法B.分析法
C.反证法D.归纳法
【答案】 B
3.命题“对于任意角cssincs”的证明如下:“sinsincs2.”该过程应用了( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证明法
【答案】 B
【解析】 因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论.
4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60
B.假设三内角都大于60
C.假设三内角至多有一个大于60
D.假设三内角至多有两个大于60
【答案】 B
【解析】 命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60”,它的反设应是“三角形的内角都大于60”.
5.要证:只要证明( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 因为.
6.设则( )
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2
D.至少有一个不小于-2
【答案】 C
【解析】 因为所以三者不能都大于-2.
7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第一象限的部分上,则lglg的最大值是( )
A.-1B.1C.-2D.2
【答案】 B
【解析】 由已知得a+2b=4,且0则即.
∴当且仅当a=2b时取”=”).
∴lglglglg.
因此,lglg的最大值是1.
8.要使成立,则a,b应满足的条件是 .
【答案】 ab>0时,ba
【解析】 要使该不等式成立,则成立.
也就是
即证整理得ab(a-b)>0.
∴只要ab与a-b同号,上述不等式便成立.
9.用反证法证明“不可能成等差数列”时,正确的假设是 .
【答案】 假设成等差数列
10.设a、b、c、d是正数,求证:下列三个不等式
a+b(a+b)(c+d)(a+b)cd中至少有一个不正确.
【证明】 假设不等式①②③都成立.
因为a、b、c、d都是正数,所以式①与式②相乘,得:
. ④
由式③得(a+b)cd.
因为a+b>0,所以4cd<(a+b)(c+d).
结合式②,得4cd所以3cd由式④得
故显然不成立.
所以不等式①②③中至少有一个不正确.
11.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:.
【证明】 要证原等式成立,只需证
即
即只需证而A+C=2B,
∴B=60.
∴.
∴.从而原等式得证.
拓展延伸
12.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若平面平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
【解】(1)取CD的中点G,连接MG,NG.
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,
则.
因为平面平面DCEF,
所以平面DCEF.
可得是MN与平面DCEF所成的角.
因为
所以sin
即MN与平面DCEF所成角的正弦值为.
(2)证明:假设直线ME与BN共面,
则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.
由已知,两正方形不共面,故平面DCEF.
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与矛盾,故假设不成立.
所以直线ME与BN不共面,即它们是异面直线.