高中数学2.2直接证明与间接证明测试题

这是一份高中数学2.2直接证明与间接证明测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．命题“对于任意角θ，cs4θ－sin4θ＝cs2θ”的证明：“cs4θ－sin4θ＝(cs2θ－sin2θ)(cs2θ＋sin2θ)＝cs2θ－sin2θ＝cs2θ”过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
故选B.
答案：B
2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq \f(xn·(x\\al(2,n)＋3),3x\\al(2,n)＋1)(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn≤xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B.
答案：B
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－eq \f(a4＋b4,2)≤0
C.eq \f((a＋b)2,2)－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
答案：D
4．已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是( )
A.eq \f(b,a)<1 B．a2>b2
C．|a＋b|>|a－b| D.eq \f(1,ab2)>eq \f(1,a2b)
解析：eq \f(b,a)<1⇔eq \f(b－a,a)<0⇔a(a－b)>0.
∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，
因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；
a2>b2⇔(a－b)(a＋b)>0，
∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；
|a＋b|>|a－b|⇔(a＋b)2>(a－b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；
由于eq \f(1,ab2)>eq \f(1,a2b)⇔eq \f(a－b,a2b2)>0⇔(a－b)·a2b2>0.
∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D.
答案：D
5．(2009·杭州市模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，a，b∈(0，＋∞)，A＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq \r(ab))，C＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：因为当a，b∈(0，＋∞)时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)，且函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A.
答案：A
6．设0A．a B．b
C．c D．不能确定
解析：易得1＋x>2eq \r(x)>eq \r(2x).
∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.
∴1＋x答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________．
解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．
答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角
8．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是________．
解析：y2＝(eq \r(a＋b))2＝a＋b＝eq \f(2(a＋b),2)>eq \f((\r(a)＋\r(b))2,2)＝x2.
答案：x9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析：因为a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＋10≥16(当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即b＝3a时取等号)，a＋b≥μ恒成立⇔μ≤(a＋b)min，
所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，
故0<μ≤16.
答案：(0,16]
10．(原创题)如果aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，则a、b应满足的条件是________．
解析：∵aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)⇔(eq \r(a)－eq \r(b))2·(eq \r(a)＋eq \r(b))>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1.
求证：eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，
∴eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＝eq \r(\f(1,bc))＋eq \r(\f(1,ca))＋eq \r(\f(1,ab))12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.
求证： eq \r(a＋\f(1,2))＋eq \r(b＋\f(1,2))≤2.
证明：要证 eq \r(a＋\f(1,2))＋eq \r(b＋\f(1,2))≤2.
只要证：a＋eq \f(1,2)＋b＋eq \f(1,2)＋2eq \r((a＋\f(1,2))(b＋\f(1,2)))≤4，
∵由已知知a＋b＝1，
故只要证： eq \r((a＋\f(1,2))(b＋\f(1,2)))≤1，
只要证：(a＋eq \f(1,2))(b＋eq \f(1,2))≤1，
只要证：ab≤eq \f(1,4)，
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2eq \r(ab)，∴ab≤eq \f(1,4)，
故原不等式成立．
13．(精选考题·浦东模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边．求证：eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c).
解：要证明eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c)，只需证明eq \f(a＋b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b＋c,b＋c)＝3，只需证明eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＝1，只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需证明c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，
则余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accs60°，即b2＝c2＋a2－ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命题成立，得证．
.