数学人教版新课标A2.3数学归纳法教学设计

这是一份数学人教版新课标A2.3数学归纳法教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：求证: 能被整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，,a1=1且
（1）求的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明
变题：（2002全国理科）设数列{an}满足，n∈N+,
(1)当a1=2时，求，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有
①an≥n+2 ②
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
例4：设函数f(x)是满足不等式,(k∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？
（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 观察下列式子 …则可归纳出____
(n∈N*)
1．用数学归纳法证明
2．已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
3.是否存在常数a、b、c，使等式
对一切都成立？并证明你的结论.
【课外作业】
《课标检测》
课题:复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。课题:数学归纳法
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学过程：
【创设情境】
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
数学归纳法
一、知识结构：
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。
变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
第1个
第2个
第3个
则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题1：已知，m是非零常数，x∈R,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。
变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）
例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：
为偶函数。
例4：设Sn=1+ (n>1,n∈N),求证： （）
评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。
变题：是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。
解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
（1）n=1时，等式以证，成立。
（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立
【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1．（2005辽宁）在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则
A．B．C．D．
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
（1）
（2）
（3）
（4）
那么下列图形中
（1）
（2）
（3）
（4）
可以表示A*D，A*C的分别是 ( )
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
3 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A 30B 26C 36D 6
解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36
4 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=lga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与lgabn+1的大小，并证明你的结论
解 (1) 设数列{bn}的公差为d,
由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明 由bn=3n－2知Sn=lga(1+1)+lga(1+)+…+lga(1+)
=lga［(1+1)(1+)…(1+ )］
而lgabn+1=lga,于是，比较Sn与lgabn+1的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，

,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立
于是，当a＞1时，Sn＞lgabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜lgabn+1
【课外作业】
《课标检测》