人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理教学设计

§2.1.1. 1合情推理

1．教学目标： 

(1)知识与技能：

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

2．教学重点：归纳推理及方法的总结。

3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

6．教学过程：

学生探究过程：

①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”

②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？

③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）

A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？

⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

思考：其他偶数是否也有类似的规律？

③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？

⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

注:归纳推理的特点;

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：

师生活动

例1  前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2  前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……

结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。

例3

探究：上述结论都成立吗？

强调：归纳推理的结果不一定成立！  —— “ 一切皆有可能！”

例 4 已知数列｛｝的第1项，且（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．

①探索：先让学生独立进行思考。

②活动：“千里走单骑”　—　鼓励学生说出自己的解题思路。

③活动：“圆桌会议”　—　鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？

【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．

分析：数列的通项公式表示的是数列{}的第n项与序号 n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．

解：当n=1时，;

 当 n =2时，；

当n =3时，；

当n=4时，．

观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为

．

在例4中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．

另解：因为，

所以，即。

所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，故

，即．

⑵能力培养（例4拓展）

例4拓展：，求

①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。

②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。

技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.

技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.

7．教学反思：

 (1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

(2)归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质     从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

（3）合情推理使学生熟悉了掌握知识的过程和方法，提高了观察与分析问题的能力，使得教学过程变成了学生积极参与的智力活动的过程，锻炼和培养了他们深刻的思维能力，从而促进创造能力的提高。

1．（2006年上海卷）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

解(1) 函数y=x+(x>0)的最小值是2,则2=6, ∴b=log29.

     (2)设0<x1<x2,y2－y1=.

     当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数；

     当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=在(0,]上是减函数.

   又y=是偶函数,于是,该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数.

   (3)可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.

   当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

   在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

   当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

   在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数.

   F(x)= +

  =

  因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

  所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n；

      当x=1时F(x)取得最小值2n+1.

2．（2003年全国高中数学联赛第一试选择题5）已知都在（-2，2）内，且，

则函数u = 的最小值是                          （   ）

（A）     （B）      （C）       （D） .

这是一道结构简单，表达简洁的很自然的最值问题，但这个看起来简单的问题可难住了许多优秀学生，经过探索，笔者发现本题用Cauchy不等式来求解较为方便简捷，现介绍如下：

解一：原不等式可变形为    u = =  

对此运用Cauchy不等式及二元均值不等式及已知条件得

≥         等式成立的条件是   且，所以  ，但x、y异号.

     这一解法的优越性在于过程简捷，思路自然简单明了.

本题还可以用无穷递锁等比数列以及不等式证明.

证明：由题设知道，故由无穷递缩等比数列求和的公式知道

本题可能来源与如下一个问题的退化情形：本题的历史渊源—本题昨天的表现形式—本题的籍贯：

命题的延伸1：设，求函数

的最小值.

这是《数学教学》2001年第5期数学问题解答栏540题，原作者给出的解答有很高的技巧性，通过配凑获得解决，是一种不太自然的想法，下面用Cauchy不等式给出一种较好的解法.

解：根据Cauchy不等式及三元均值不等式知

通过上面的解法可以看出，本题的减元情形就是上述竞赛题的表现形式.

本题还可以用构造等比数列的方法证明，《数理天地》2004.10. 23页

实际上，本题还可以推广为

命题的延伸2：，求的最小值.