高中数学3.1空间向量及其运算教案

这是一份高中数学3.1空间向量及其运算教案，共4页。教案主要包含了向量在轴上的投影，向量的模与方向余弦的坐标表示式等内容，欢迎下载使用。
1．几个概念
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则
设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为
空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。
向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。
2．投影定理
性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：
i + j+k
或a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a ＝ {ax，ay，az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为终点为的向量可以表示为
特别地，点对于原点O的向径
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.
2．向量运算的坐标表示
设，即，
则
加法：
减法：
乘数：
或
平行：若a≠0时，向量相当于，即
也相当于向量的对应坐标成比例即
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。图7－6
模
方向余弦
由性质1知，当时，有
任意向量的方向余弦有性质：
与非零向量a同方向的单位向量为：
例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}
，，
，，
设为与同向的单位向量，由于
即得
课题
向量的坐标
教学目的要求
1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系
2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
主要内容与时间分配
1．投影与投影定理 25分钟
2．分向量与向量的坐标 30分钟
3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟
重点难点
1．投影定理
2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
教学方法和手段
启发式教学法，使用电子教案