数学选修2-13.1空间向量及其运算教学设计
展开学情分析: 学生对数量积感念不清,只记住公式却不能灵活运用。
教学目标:1. 通过知识梳理,学生了解并理解空间的位置关系及数量积的意义。
2.通过例题分析,让大部分学生理解并掌握数量积的公式,学会灵活运用。
3.通过合作学习比较数量积和坐标解题的两种情况,建立良好的合作关系。让少部分学生理解并能够具体问题具体分析。.在比较学习中,学生感受数学多样化和生活中事物两面的多样化的异同。体会生活中的问题也可以用数学的思想去理解或者解决。
教学重点:1. 掌握数量积的定义,公式。
2.数量积的运用。
教学难点:会利用数量积解决简单的空间几何问题。
教学过程:
知识梳理
c1. 空间向量基本概念:
1.什么是向量?
2.比较平面向量
定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量 ︱︱·︱︱cs叫做与的数量积(或内积),记作:·,即:·= ︱︱·︱︱cs
平面向量数列积性质:设和b都是非零向量,则
1)、⊥ ·=0
2)、当与同向时,︱·︱=︱︱︱︱;当与反向时,
︱·︱= -︱︱︱︱, 特别地,·=︱︱2或︱︱=
3)、︱·︱≤︱︱×︱︱
C2. 空间两个向量a,b的数量积:a·b=|a||b|cs〈a,b〉,这里〈a,b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a,b〉≤π).
空间向量的数量积数量积的运算性质:
(1)利用a⊥b⇔a·b=0证线线垂直(a,b为非零向量).
(2)利用a·b=|a|·|b|cs〈a,b〉,csθ=eq \f(a·b,|a|·|b|),求两直线的夹角.
(3)利用|a|2=a·a,求解有关线段的长度问题.
二、考点分析
知识点一 求两向量的数量积
C例题1. 如图所示,已知正四面体O-ABC的棱长为 a,
求·.
解 由题意知 | | = | | = | | = a,且〈,〉= 120°,〈 ,〉= 120°,
· =·( )
= ·· ,
= a2cs120°a2cs120°=0
【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点,如〈,eq \(AC,\s\up6(→))〉=60°时,〈 ,eq \(CA,\s\up6(→))〉=120°.
C练习1 :已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点,试计算:
(1)· ;
(2)· ;
(3)· .
解 如图所示,设=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1) · = b·[ (c a )+b]= | b |2 = 42 = 16 ..
(2)· = (c a +b )·( a + c )= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.
(3)· = [eq \f(1,2)(c-a)+eq \f(1,2)b]·(eq \f(1,2)b+a)=eq \f(1,2)(-a+b+c)·(eq \f(1,2)b+a)=-eq \f(1,2)|a|2+eq \f(1,4)|b|2=2.
知识点二 利用数量积求角
B例题2:
如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.
解 . 因,
所以 · =· ·
=||||cs〈 ,〉| | | | cs〈 , 〉
=8×4×cs135° 8×6×cs120°
所以cs〈,〉=eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|).
=eq \f(24-16\r(2),8×5)=eq \f(3-2\r(2),5).
即OA与BC所成角的余弦值为eq \f(3-2\r(2),5).
反思感悟:在异面直线上取两个向量,则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题.需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补.
C练习2:在二面角α-l-β中,A,B∈α,C,D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点.
(1)求二面角α-l-β的大小;
(2)求证:MN⊥AB;
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.
知识点三 利用数量积证明垂直关系
B例3:如图所示,m,n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m,l⊥n,
求证:l⊥α .
证明 在α内作任一直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
因为m与n相交,所以向量m,n不平行.
由向量共面的充要条件知,存在惟一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn.
将上式两边与向量l作数量积,
得l·g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0,l·n=0,所以l·g=0,
所以l⊥g.即l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,
所以l⊥α.
B练习3:已知:在空间四边形OABC中,OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB.
小结:
B/A变式4:10.已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.
(1)求AC′的长(如图所示);
(2) 求 与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角的余弦值.
解 (1)∵= + + ,
∴||2 = (+ + )2
=| |2 + | |2+ | |2 + 2 (· +· + ·)
= 42 + 32 + 52 +2(0+10+7.5)= 85.
∴|| = eq \r(85).
(2) 方法一 设与的夹角为θ,
∵四边形ABCD是矩形,∴| | = 。
∴由余弦定理可得
csθ=eq \f(AC′2+AC2-CC′2,2AC′·AC)=eq \f(85+25-25,2·\r(85)·5)=eq \f(\r(85),10).
方法二 设=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA′,\s\up6(→))=c,
依题意· = (a+b+c)·(a+b)
=a2+2a·b+b2+a·c+b·c
=16+0+9+4·5·cs60°+3·5·cs60°
=16+9+10+eq \f(15,2)=eq \f(85,2).
∴ cs θ= = eq \f(\f(85,2),\r(85)·5)=eq \f(\r(85),10).
三、课堂小结
空间两个向量a,b的数量积,仍旧保留平面向量中数量积的形式,即:a·b=|a||b|cs〈a,b〉,这里〈a,b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a,b〉≤π).空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质.应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题,可以求两直线夹角问题和线段长度问题.即(1)利用a⊥b⇔a·b=0证线线垂直(a,b为非零向量).(2)利用a·b=|a|·|b|cs〈a,b〉,csθ=eq \f(a·b,|a|·|b|),求两直线的夹角.(3)利用|a|2=a·a,求解有关线段的长度问题.
作业布置
C1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
B2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )
A.eq \r(7) B.eq \r(10)
C.eq \r(13) D.4
C3.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
C4..已知向量a、b满足条件:|a|=2,|b|=eq \r(2),且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为________.
B5.已知a、b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则c·a=0且c·b=0是l⊥α的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B6. 已知线段AB,BD在平面α内,∠ABD=120°,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为____________.
B7.已知|a|=3eq \r(2),|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.
B/A8 如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量与所成角的余弦值.
板书设计
反思
合作学习时,没有掌握好时间,导致本课没有完成,下节课再补充。
空间向量的数量积
一、知识整理
1.
2.
例题1
练习1
.例题2
练习2:
练习3:
三:课堂小结
四、布置作业
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数学必修42.4 平面向量的数量积教案: 这是一份数学必修42.4 平面向量的数量积教案
人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教案: 这是一份人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教案