2021学年2.2直接证明与间接证明教学设计

直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

    6．教学过程:

学生探究过程：证明的方法

（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

    （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

    证明：(用分析法思路书写)

    要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，

    只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

    即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

    只需证a2-2ab+b2＞0成立，

    即需证(a-b)2＞0成立。

    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

    (以下用综合法思路书写)

    ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

    亦即a2-ab+b2＞ab

    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

    即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例2、若实数，求证：

证明：采用差值比较法：

=

 = =

=

∴ ∴

例3、已知求证

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。   

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设

故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？

巩固练习：第81页练习1  , 2  , 3 ,  4

课后作业：第84页  1，2,  3

教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。