人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示第一课时教案及反思

3.1.2函数的表示法（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)

一、教学目标

1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；

2.了解分段函数，并能简单应用；

3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.

二、教学重难点

1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；

2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.

三、教学过程

1.对函数表示方法的认知

1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法

【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例

问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？

【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.

【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.

【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.

问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

       （2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.

【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.

【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.

使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.

1.2归纳提炼，形成共识

在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：

（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

     优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.

     缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式.

     中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数.

（2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.

      优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.

      缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.

（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

      优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 .

      缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便.

 【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识.

2.初步应用，理解概念

例1某种笔记本的单价是0.5元，买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.

【预设的答案】这个函数的定义域是

解析式法：

列表法

    图象法

【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.

（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线 ，也可以是离散的点等.

例2 画出函数的图象 .

【预设的答案】由绝对值的概念，我们有，所以函数的图象如图所示

问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？

【设计意图】

（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性.

（2）学生已经熟知所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程.

教师讲授：（1）是一个函数，对于定义域内的任意一个，都有唯一确定的函数值与之对应.

（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.

分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

例3 给定函数.

（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象；

 （2），用表示中的较大者，记为.例如，当时， .请分别用图象法和解析法表示函数.

【预设的答案】

（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象

（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数的图象

     由，得，解得或

       结合图象得出函数的解析式为

【设计意图】

（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.

（2）通过对这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力.

3.归纳小结，突出重点

（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；

（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.

（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷.

【设计意图】

（1）梳理本节课的学习内容；

（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 .

四、课外作业

1.画出函数的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）

2.给定函数

（1）画出函数的图象；

（2）用表示中的较小者，记为

请分别用图象法和解析法表示函数.

3.已知函数的图象如图所示，其中点的坐标分别为， 则＝(　　)

A．2　　　　　    B．4

C．0         D．3

4．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

5．下表表示函数，则的整数解的集合是________．