2021学年2.4 平面向量的数量积教案设计

教材分析：

教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

教学目标：

通过物理实验中物体的运动来解决问题的形式来引入数量积的概念，然后教师提出猜想，师生共同探讨研究，最后加以论证，能够使学生主动参与到学习中来。提高教学课堂的活跃性及学生学习的积极性，从而掌握平面向量数量积的定义及运算律。

教学重点：

平面向量的数量积定义.

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学方法：

1. 问题引导法
2. 师生共同探究法

教学过程：

一．        回顾旧知

向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作，

它的长度和方向规定如下：

（1）

 （2）当λ>0时,的方向与a方向相同，当λ<0时, 的方向与a方向相反

特别地，当或时，

向量的数乘运算律：设,为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：

        ①   λ(μ)=

        ②  (λ+μ)=

        ③   λ(+)=

二．情景创设

问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

三．学生活动

联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为多少？

W可由下式计算：W＝｜F｜·｜s｜cosθ，其中θ是F与s的夹角.

若把功W看成是两向量F和S的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念.

四．建构数学

1.向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量｜｜｜｜cosθ叫与的数量积，记作·，即有·＝｜｜｜｜cosθ

说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定

（2）是与的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）

当θ＝0时，与同向；·＝｜｜｜｜cos0＝｜｜｜｜

当θ＝时，与垂直，记⊥；·＝｜｜｜｜cos=0

当θ＝π时，与反向；·＝｜｜｜｜cos=－｜｜｜｜

（3）规定·＝0；2＝·＝｜｜2或｜｜＝＝

（4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

2. 向量数量积的运算律

已知，，和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

①·＝·  (交换律)

②(λ)·＝λ (·)＝·(λ)  (数乘结合律)

③(＋)·＝·＋·  (分配律)

④(·)≠ (·)       （一般不满足结合律）

五．例题剖析

加深对数量积定义的理解

例1  判断正误，并简要说明理由.

      ＝；

      0＝0；

      若，则对任意非零向量，有

      如果，那么与夹角为锐角

      若，则

      若且，则

      若，则·＝｜｜｜｜

      与是两个单位向量，则2＝2

数量积定义运用

例2：  已知2，3，θ为与的夹角，分别在下列条件下求·

（1）与的夹角为135°     （2）∥    （3）⊥

变式：已知｜｜＝4，｜｜＝6，与的夹角θ为60°，求

（1）              （2）      （3）

概念辨析，正确理解向量夹角定义

例3  已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·

变式：三角形ABC中，若,判断三角形ABC的形状 

六．课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.

七．课后作业

A组：课本81页  习题2.4第1，2题    B组：活页

八．板书设计

标题

回顾                                                 例题

新课讲授                                             小结

九．教学反思

教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。