人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学设计

第五章  三角函数

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

二、教学重难点

1. 教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。

2. 教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。

三、教学过程

（一）规划研究方案，形成研究思路

问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？

追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？

（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？

（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？

师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案预设的答案如下．

研究的线路图：函数的定义—函数的图象—函数的性质．

绘制一个新函数图象的基本方法是描点法．

对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一：表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数，的图象，再画正弦函数，的图象．

  【设计意图】规划研究方案，构建本课时的研究路径，以便从整体上掌握整个课时的学习进程，形成整体观念．

（二）正弦函数的图象

问题2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点？

追问（1）：根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？的几何意义又是什么？

师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定，对应的几何量．

追问（2）：根据上述分析，如何具体地作出点？

师生活动：学生思考后，通过提前准备的工具尝试绘制这个点．

具体的操作：方法1:“手工细线缠绕”法．

方法2:利用信息技术．

【设计意图】教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．

问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数，的图象？你能想到什么办法？

师生活动：学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施．

预设的答案：

方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．

方案2：为方便操作，可以在区间内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．

追问：这两种绘制方法的异同是什么？（两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行）．

师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象．

【设计意图】确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷．

问题4：根据函数，的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象．

师生活动：学生画图，教师予以指导．

预设的答案：根据公式一，可知函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象，如图2所示．

图2

教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．

【设计意图】绘制函数，的图象，并培养说理的习惯．

问题5：如何画出函数，图象的简图？

追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法．

预设的答案：观察图2，在函数，的图象上，五个点，，，，在确定图象形状时起关键作用．因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”

【设计意图】观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法．

（三）余弦函数的图象

问题6：如何画出余弦函数的图象？

师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题．

追问（1）：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？

师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据，教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系．记，则．因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到．

追问（2）：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？

师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范．教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证．

预设的答案：设是函数图象上任意一点，则有．

令，则，即在函数图象上有对应点．

比较两个点：与．因为，即．

所以点可以看做是点向左平移个单位得到的，只要将函数图象上的点向左平移个单位可得到函数的图象，如图3所示：

图3

教师指出，余弦函数，的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．

【设计意图】利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识．

问题7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？

追问：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出，的简图．

【设计意图】观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．

（四）例题

例1画出下列函数的简图：

（1），；

（2），．

师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答．

解：（1）按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）：

图4

（2）按五个关键点列表：

图5

【设计意图】巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．

练1：在同一直角坐标系中，画出函数

，

，

的图象．通过观察两条曲线，说明他们的异同．

解：可以用“五点法”画出它们的图象，还可以用信息技术画出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例如函数，的图象，可以通过函数，的图象向右平行移动个单位长度而得到．

练2：用五点法分别画下列函数在上的图象：

（1）；（2）．

解：（1）按五个关键点列表：

图6

（2）按五个关键点列表：

7

练3：函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（    ）．

（A）0个     （B）1个     （C）2个     （D）3个     （E）4个

分析：先画出函数，的图象，分情况讨论取不同范围的值时，交点个数的情况．

解：画出函数，的图象，如下图．

结合图象，讨论取不同范围的值时，交点个数的情况：（结合动图）

当或时，与图象无交点；

当或时，与图象有1个交点；

当时，与图象有2个交点．所以，选ABC．

（五）课堂小结

教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：

（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？

（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？余弦函数呢？

【设计意图】通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数

（六）布置作业

教科书第213页——习题5.4第1题．

【设计意图】考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．

目标检测设计

教科书第200页练习第2题．

【设计意图】考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．