高中数学5.4 三角函数的图象与性质教案

5.4三角函数的图象和性质（复习课）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.能画出三角函数的图象；

2.了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值、对称性；

3.理解研究三角函数图象与性质的一般思想和方法；

4.培养数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.

二、教学重难点

1.重点：正弦、余弦、正切函数图象及其主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域、对称性）；研究函数图象与性质的一般思路和方法．

2.难点：复合函数的图象及其性质；根据函数的性质求参数问题．

三、教学过程

1.知识梳理

1.1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，．

（2）在余弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，．

1.2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)

【周期结论】

1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻两个对称中心的距离也是半个周期．

2．为常数，：

（1）或周期为；（2）周期为．

2.探究典例

例1.求下列函数的定义域：

（1）；                    （2）；

（3）；                （4）．

思考：将（4）换成、，定义域又是多少？

【预设答案】

（1）由题意知，，，函数的定义域为.

（2）要使函数有意义，必须使.在同一坐标系中画出上和的图象，如图所示：

在内，满足时或，结合正弦、余弦函数的周期是，所以原函数的定义域为.

（3）函数的解析式为， ， 所以原函数的定义域为且.

（4）由题意得，又由前面的知识可知将函数在轴下方的图象翻折到轴上方，并去掉轴原下方图象保留原上方图象，就得到了函数的图象，的图象如下图所示：

周期是，在内，时或，所以函数的定义域为.

【设计意图】求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），通常是借助三角函数图象来求解.

【思考题预设答案】

对于，得，结合的图象：

周期是，在内，时或，所以原函数的定义域为

.

对于，得，结合的图象：

周期是，在内，时或，所以定义域为或.

【设计意图】帮助学生复习翻折变化下三角函数的图象和性质.对于函数仍是周期函数，而函数、不是周期函数，他们的图象如下图所示：

例2.已知求下列函数的值域：

（1）；

（2）．

【预设答案】

（1）根据余弦函数图象知当时，单调递增，当时单调递减，所以当时， ，当时， ，所以原函数值域为．

（2）函数的解析式为，由（1）得，所以当时， ，当时， ，所以原函数值域为．

【设计意图】本题涉及的三角函数求值域的方法有①利用、的图象性质直接求解；②通过换元，转换为二次函数的形式求值域.

例3.比较下列各数的大小：

（1），，；

（2），，，.

【预设答案】

（1）由，且，结合正弦函数图象知；

（2）由前面三角函数的几何意义可得当时，，所以，又，，因此.

【设计意图】利用三角函数单调性比较大小；并总结三个三角函数图象在同一坐标系中的关系如下图所示：

例4.对于函数回答下列问题：

（1）采用“五点法”如何作出的图象？

（2）求解的最值、单调区间、对称轴方程、对称中心；并判断函数的奇偶性．

【预设答案】

（1）由函数的周期性可知仍是周期函数，令，，由“五点法”令、、、、，得到下表：

得到的大致图象： 

（2）法一：由（1）中图象可知，当时，，当时，;单调递增区间为,单调递减区间为；函数对称轴方程为；对称中心坐标为;图象不关于原点对称，也不关于轴对称，是非奇非偶函数.

法二：令，，当，即时，

，当，即时，；

当，即，即

时，单调递增；当，即，即时，单调递减，因此函数单调递增区间为,单调递减区间为；

函数对称轴方程为，即；令

，得，所以函数对称中心坐标为；

【设计意图】图象是函数的直观表示，也是函数性质的集中体现.学生掌握如何作图能帮助其有效解题.五点法作图时应该选取怎样的五个点是关键：抓住一个周期内的最高（低）点、图象与平衡位置的交点就能反映图象的走势. 复合函数的最值、单调区间、对称轴、对称中心有两种方法：①利用复合函数图象求解；②通过换元法整体代换，将看作一个整体，转化为利用三角函数的性质求解，选用哪种方法应根据实际情况灵活运用.对于、处理方法也一样.另外本题设置函数，也为后面学习函数图象的平移和伸缩变化做好铺垫．

变式1：求函数的单调递减区间.

【预设答案】

法一：令，得，得，所以原函数单调递减区间为.

法二：，令，得，得，所以原函数单调递减区间为.

【设计意图】

利用复合函数单调性的“同增异减”原则求函数的单调性.令，将函数转化为，若和都单调递增或都单调递减，则原函数单调递增；若和一增一减，则原函数单调递减.

变式2：求函数在区间上的单调递减区间.

【预设答案】令，得，原函数单调递减，又，所以当或时原函数区间上的单调递减区间和.

【设计意图】函数在定区间上求单调递减（增）区间，可以求出原函数在上的所有单调减（增）区间，再与定区间求交集.

变式3：求函数在区间上的最值.

【预设答案】令，原函数转化为，又，所以 ，又根据图象可知，当，单调递减；当，单调递增，所以当，即时，；当，即时，.

【设计意图】复合函数在定区间上求最值问题，分三个步骤：第一步，令，将函数转化为，第二步，根据的范围求出的范围，第三步，根据的图象单调性得出的最值.

变式4：求函数零点的个数.

【预设答案】函数零点的个数等价为函数与函数交点的个数.当时，，而，做出函数与函数的大致图象：

     图象交点个数为5个，因此函数零点有5个.

【设计意图】函数零点个数等价转化为两个函数图象交点的个数，帮助学生利用数形结合思想解决三角函数中的零点问题.

变式5：已知函数的图象关于轴对称，且，求的值.

【预设答案】由函数的图象关于轴对称可知是函数的对称轴，所以，又，因此.

【设计意图】

函数为偶函数的充要条件是，为奇函数的充要条件是；函数为偶函数的充要条件是；为奇函数的充要条件是．

变式6：已知函数在区间上单调递增，求的取值范围.

【预设答案】

由题意，得，再令，原函数转化为在单调递增，所以，即，得，得，因此.

【设计意图】已知函数的单调性求参数的取值范围.

变式7：已知函数在区间上有最大值无最小值，求的取值范围.

【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上有最大值无最小值，所以，所以，得或，因此或.

【设计意图】已知函数的最值求参数的取值范围.

变式8：已知函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.

【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上恰有一个零点，所以，得，得或或，因此或或.

【设计意图】已知函数的零点求参数的取值范围.

3.归纳小结

思考：本节课我们回顾了哪些知识？用到了那些研究方法和数学思想？

【预设答案】知识：三角函数是刻画周期的现象的的重要模型，图象是周期现象的直观体现，性质是周期变化的规律的代数表现.我们通过图象直观了解三角函数的性质,包括定义域、值域、周期性、单调性、最值、对称性、零点等；

思想方法：划归与转化、模型思想、数形结合等；

【设计意图】

（1）让学生学会自主梳理本节课的学习内容、解题方法、数学思想；

（2）鼓励学生不怕困难，积极攀登知识高峰.

四、课外作业

（1）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值 为       .

（2）若函数在区间的最大值为，求的最小值.

（3）已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则         .

（4）函数的所有零点之和为        .

（5）关于函数有下述四个结论：

①是偶数；

②在区间内单调递增；

③在上有个零点；

④的最大值为.

其中所有正确结论的编号是         .

【预设答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）①④.

【设计意图】

（1）利用正弦余弦三角函数图象及其性质求最值有如下结论：①在对称轴处函数取最值；②两个相邻的最值点的横坐标之间的距离为半个周期；③若，则为函数的对称轴.而复合函数求最值（值域），则利用换元的方法转化为三角函数求解.

（2）函数的零点转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性可以迎刃而解.

（3）带绝对值符号的函数，解题原则是去绝对值符号，变成分段函数的结构分类讨论.