数学第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第二课时教学设计

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.知识与技能：理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值的概念，会用整体法求正弦函数、余弦函数的单调区间与最值.

2.过程与方法：观察正弦函数、余弦函数图像，研究出单调性、最值性质.

3.情感、态度价值观：经历从一般到特殊的抽象过程，培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力.

二、教学重难点

1.重点：通过三角函数图像，得到三角函数的单调性、最值等性质.

2.难点：如何从一个周期的单调性推广到整个定义域上的单调性.

三、教学过程

1.创设情境，揭示课题

【生活情境】：观察正弦函数、余弦函数图像，我们发现，它不仅有“周而复始”的变化特征，还有“波浪起伏”的特点。正如我们的人生，并不是一帆风顺，而是起起伏伏，明白了这一道理就可以更好地把握人生。研究这种“波浪起伏”的特点，就是要研究正弦函数、余弦函数的单调性.

【设计意图】揭示主题，同时让学生感受到数学是来源生活的，我们要会用数学的语言表达世界.

问题1 请同学们回顾一下，上节课我们研究了正弦函数、余弦函数的什么性质？是通过什么方式研究的.

【预设的答案】周期性，奇偶性；图像，定义，单位圆

【设计意图】回顾旧知，一是为了引入本节课的主要研究内容，二是为了让学生复习研究函数性质的一般方法.

2.构建知识，形成概念

问题2 同样地，我们也可以借助于正弦函数的图像来研究它的单调性，请同学们观察图像，思考下列问题.

问题2.1 观察正弦函数的图像，请你写出它的单调增区间.

【设计意图】从学生熟悉的“形”入手来研究函数单调性.

问题2.2 还有其他单调增区间吗？你能一一列举出来吗？

【设计意图】根据图像写出单调增区间，但是因为图像是无限延展的，学生就会意识到不可能一一列举出来.

问题2.3 那能否找一个形式将这些单调增区间统一起来？请观察你列出来的单调增区间，他们的左、右端点之间有关系吗？有何关系？你能得到单调增区间的一般结论吗？

【预设的答案】，

【设计意图】既然无数个单调增区间，不可能一一列举，那我们就迫切需要将这些单调增区间进行整合，寻找一个统一的形式来表示，这里主要引导学生从“数”的角度归纳出单调增区间.

问题2.4 你写的单调增区间与你周围同学的一样吗？如果不一样，请思考是什么原因.

【预设的答案】形式不一样，但是本质是一样的，区别在于所选的周期不一样。

【设计意图】引导学生发现单调增区间的写法可能不一样，这与我们选择的周期有关，但是本质是一样的.也就是说我们研究单调增区间与所选的周期无关.

问题2.5 既然正弦函数的单调增区间与所选的周期无关，那如果我们选择这个周期，能否直接根据这个周期的图像得到正弦函数在整个定义域上的单调增区间呢？

【设计意图】刚才是通过归纳法得到的单调增区间，现在通过周期性的性质，进行说理证明.

问题2.6 因此，我们可以通过研究正弦函数一个周期的图像进而研究出整个定义域上的单调增区间.观察你写的单调增区间上函数值的有何变化特点？

【预设的答案】函数值从-1变为0再变为1

【设计意图】引导学生发现单调增区间上函数值的变化特点

问题2.7 那我们如果选择这个周期，请你再试着写它的单调增区间？函数值又是如果变化的？对你有什么启发.

【设计意图】虽然也是一个周期，但是一是单调增区间被割裂了，比较复杂；二是函数值并不是从-1连续变为1.因此引导学生在寻找单调增区间的时候，函数值是从-1连续变为1，而不是断开的.

问题3 你能仿照刚才的方法，写出正弦函数的单调减区间吗？函数值又有何变化特点？

【设计意图】将研究单调增区间的方法迁移，学生自然而然知道如何研究单调减区间.

问题4 通过研究一个周期的单调性就可以研究出整个定义域上的单调性，请大家仿照同样的方法，研究出正弦函数的最值.

【设计意图】研究出了单调性，最值的研究就水到渠成了.

3.合作交流，类比迁移

问题5 请你类比正弦函数单调性和最值的研究方法，研究出余弦函数的单调性和最值.请大家自主研究，完成以下表格，然后小组讨论.

4. 运用新知，巩固提高

例1  下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.

（1），；

（2），.

【活动预设】学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，教师点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，因此问题转化为求的最值；对于（2），令，转化为求的最值;对于（3），它与（2）的不同之处在于自变量的范围有限制．

【设计意图】巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用．

例2   不通过求值，比较下列各组数的大小：

（1）与   （2）与

【活动预设】学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．

【设计意图】初步应用函数的单调性解决比较大小的问题．

例3 求函数，的单调递增区间．

【活动预设】师生共同分析此问题，然后共同完成求解、本题中，令，，当自变量x的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增．

在解题完成后，教师可进一步提出此问题的变式问题：求函数，的单调递增区间．此变式问题让学生独立完成，可能会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．

【设计意图】类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

5. 归纳总结，形成能力

  本节课我们利用正弦函数和余弦函数的图象、在上节课研究完周期性和奇偶性的基础上，研究了函数正弦函数和余弦函数的单调性和最值，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数性质的理解．

知识 通过图象直观研究函数的性质，周期性、奇偶性、单调性；

方法 换元法

思想 化归思想 数形结合