高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制教学设计及反思

5.1.1任意角

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养．

2.理解角的加减运算以及相反角的概念．

3.掌握与角终边相同的角的表示方法．

二、教学重难点

1.将到范围的角扩充到任意角.

2.任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.

三、教学过程

1.呈现背景 提出问题

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象.

问题1：如图，上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？

【预设的答案】我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，射线OA，OP分别是角的始边和终边，点P是终边OP与的交点．可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化．

【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助．

由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．

2.任意角的概念、运算及分类

现实生活中随处可见超出范围的角．例如,体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”，齿轮的旋转等.

问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？

【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.

【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向．

很显然，角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广.

2.1角的概念

类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．

2.2角的表示与作图

【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？

【设计意图】再次强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量.

2.3角的运算

问题3：类比实数，思考下列问题：

（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？

（2）两角相加又是怎样规定的？

（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？

【预设的答案】（1）旋转方向相同且旋转量相等.

（2）角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.

（3）类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念．我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．类似于实数的相反数是，角的相反角记为．

类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即．

【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．

2.4象限角

角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角. 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？

【预设的答案】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．

【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的．

这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角.

问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？

【预设的答案】因为锐角是指大于且小于的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角．

【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆．

2.5终边相同的角

问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与角终边重合的角还有哪些？有多少个？

【预设的答案】328°，688°，－392°，－752°；无数个

追问：它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？

【预设的答案】相差360°的整数倍，可以用表示．

追问：将推广到一般角，结论应该是什么？

【预设的答案】.

【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养．

一般地，我们有：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

，

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．

3.典例分析

例1 在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．

（1）－120º；（2）640º；（3）－950º12′.

【预设的答案】（1）与－120º终边相同的角为240º，它是第三象限角.

（2）与640º终边相同的角为280º，它是第四象限角.

（3）与－950º12′终边相同的角为129º48'，它是第二象限角.

【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．

例2 写出终边在轴上的角的集合．

【预设的答案】终边落在y轴非负半轴上的角构成集合：

，

终边落在y轴非正半轴上的角构成集合

，

观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是

．

另外，我们还可以用这种方式求出：

．

【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．

例3 写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？

【预设的答案】在范围内，终边在直线上的角有两个：，．

因此，终边在直线上的角的集合

．

中适合不等式的元素有

，，，

，，．

【设计意图】巩固终边相同的角的表示．

4.归纳小结

四、课外作业

1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：

（1）420°；  （2）-75°；   （3）855°；   （4）-510°．

2．写出终边与-225°终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素．