高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教案设计

5.4.3正切函数的图像与性质

(人教A高中数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

二、教学重难点

1.教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性

2.教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

三、教学过程

      1.创设情境，引发思考

【类比联想情境】三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.

【预设的答案】取点作图法，单位圆法，计算机演算法。

【设计意图】创设数学情境，让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

     2.提出问题，引发思考，小组讨论

【活动预设】阅读课本《正切函数》该小节的内容，思考并完成以下问题

1.  正切函数图像是怎样的？

2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性

质？

【预设的答案】取点作图法；定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性

【设计意图】学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

3.新知探究，教师讲授

1.1正切函数，且图象：

1.2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域：    

值域：R（-∞，+∞）

最值： 无最值              

渐近线：

周期性：最小正周期是      

奇偶性: 奇函数

单调性：增区间     

图像特征：无对称轴，对称中心：

【设计意图】在学生进行小组讨论之后，教师引导学生去探究出新的知识内容。

4.初步应用，理解概念

例1 函数的周期为多少？一般地，函数的周期是什么？

【预设的答案】

【设计意图】会求正切函数的周期

例2 比较下列两组数的大小：

（1）

（2）

【预设的答案】（1）<（2）<

【设计意图】比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

例3 求满足下列条件的x的取值范围.

（1）

（2）

（3）

【预设的答案】（1）

（2）

（3）

【设计意图】利用函数图像，已知值域求定义域

例4 （1）求函数的周期、定义域、单调区间；

     （2）解不等式：     

【预设的答案】（1）周期；定义域；

单调增区间：

（2）

  【设计意图】解题技巧：（求单调区间的步骤）

用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：

第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

例5 求下列函数的值域

（1）

（2）

（3）

（4）

【预设的答案】（1）[-2,1]  (2)  （3）(-1,0]  (4)

【设计意图】利用单调性，换元法求值域

5.归纳小结，文化渗透

思考：对于，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？

1.画正切曲线掌握“三点描图法”（哪三点？）.

2.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点         对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.

3.研究正切函数问题时,一般先考察函数在区间的情形, 再拓展到整个定义域.

4.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.

【设计意图】

（1）梳理本节课对于正切函数的认知；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .

四、课外作业