1.6集合与简易逻辑复习教学设计

《集合与常用逻辑用语》复习课

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第一章)

一、教学目标

1.要使学生学会用集合的语言简洁地、准确地表述数学地研究对象，学会用数学地语言表达和交流数学问题。积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养.

2.要使学生会用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理素养.

3.通过对集合和常用逻辑用语抽象的数学语言的学习，提升学生数学表达的抽象层次.

二、教学重难点

1.能结合具体问题，明确集合的交、并、补运算的规则并解决与集合的运算相关的问题；

2.能结合具体问题，明确充分条件、必要条件、充要条件的含义并能解决与它们有关的判断问题；

3.能结合具体问题，表述出全称量词命题和存在量词命题及它们的否定形式并判断其真假；

4.以集合和常用逻辑用语为载体，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养是本节课的难点.

三、教学过程

1.知识复习

1.1复习所学内容，构建知识框架

问题1：本章我们学习了哪些知识？

【预设答案】学生会按自己对知识的掌握说出本章所学习的内容：集合的有关概念、关系和运算，充分条件、必要条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定等等.

【设计意图】学生的学习往往有零散，孤立的特点，而且会有一定程度的遗忘.所以首先帮助学生回顾本章重点知识，理清知识脉络，形成完整的知识体系，完善他们对知识的理解和认识是非常必要的.并且可以帮助学生养成整理、归纳、总结并寻找知识内部之间的相互联系的学习习惯.

1.2加深知识理解，明确学习目的

问题2：我们为什么学习集合和常用逻辑用语？

【预设答案】明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础；把研究对象放在一起作为一个整体看待，就形成一个集合；集合是刻画一类事物的语言和工具；使用集合的语言和工具，可以简洁、准确地表述研究对象及研究范围；集合语言是数学的基本语言，是现代数学的基础.

数学的重要特征是它的严谨性；使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的严谨性和准确性，提升逻辑推理素养；逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.

【设计意图】我们的教学往往关注于“学什么”而忽略了“为什么学”,但是“知其所以然”才是学习中更重要的.在教学中应该让学生明白高中数学的第一章为什么安排集合和常用逻辑用语的内容，它们在数学中的作用是什么，学习这些内容对我们学习数学有什么帮助.

2. 知识巩固

问题3：研究集合问题，首先要关注什么呢？

【预设答案】集合中的元素.

【设计意图】我们把一些元素组成的总体叫做集合.研究集合，就是研究集合中的元素.因此，应该让学生意识到，集合问题一定要先弄清楚集合中的元素是什么，它们具有什么样的属性特征.

例1.已知集合，集合，则中所含元素的个数为（    ）

A.3            B.6           C.8         D.10

【预设答案】由可知，必有；

当时，；

当时，或；

当时，或或；

当时，或或或；

集合中的元素是有序数对，所有共有1+2+3+4=10个.

例2.已知集合则=（     ）

1.     B.     C.      D. 

【预设答案】两个集合中的元素都是，因此答案选D

【设计意图】通过以上两个问题和，让学生认识到研究集合一定要先弄清楚集中的元素是什么.

问题4：两个数可以比较大小，两个集合之间有哪些关系呢？空集有什么特殊的性质呢？

【预设答案】包含关系和相等关系.空集是任何集合的子集.

【设计意图】复习旧知，为例3做好准备.

例3.已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【预设答案】由可得，所以有且，

所以或，即或或

当或时，集合中，不符合题意，舍去；

当时，集合中，也不符合题意，舍去；

当时，，满足题意.

综上，.

问题5：用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识.本章中，我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算.你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义？

【师生活动】学生独立思考，回答问题.教师进行补充，并提出以下问题进行追问：

（1）集合的基本运算包括哪些？经过运算得到的集合如何表示？

（2）有关空集的交集，并集和补集运算规律是什么？

（3）你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗？

【师生活动】学生回答问题，教师及时引导和纠正。

【设计意图】通过类比和联系的方式回忆集合的基本运算的定义和特征，再结合具体实例加深理解.

例4.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.

（1）若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

（2）是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

【预设答案】（1）　∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x<0或x>2}.

∵(∁RA)∪B＝R，

∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.

（2）由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾.

即这样的a不存在.

【设计意图】通过具体例题，帮助学生更好地复习并提高运用所学知识解决问题的能力，借助数轴解决集合问题，渗透数形结合的思想.

例5.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

【预设答案】记28名参加比赛的学生构成的集合为，

参加游泳比赛的同学构成的集合为，参加田径比赛的同学构成的集合为，

参加球类比赛的同学构成的集合为，

由题意知，，，故各集合间的关系可以用右图变式.

由图可得，

于是有，故，

只参加游泳比赛的人数为15-3-3=9人.

【设计意图】让学生认识到实际问题与集合的关系；能利用集合语言简洁、准确的表述实际问题；提升数学抽象这一重要数学素养；利用韦恩图解决问题，再次渗透数形结合的思想.

追问：怎么用上述集合表示“只参加游泳一项比赛的同学”呢？

【设计意图】加深学生对集合运算的理解.

问题6：对给定的p和q，如何判定p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？

【设计意图】重新温习所学知识，让学生明确p和q之间的关系源于命题“若p，则q”的真假性的判断.

例6.已知，其中均为实数.证明：对于任意的，均有的充要条件是.

【预设答案】因为，所以函数的图象的对称轴方程为，且，当时，.

先证必要性：对于任意的，均有，则，所以；

再证充分性：因为，当时，的最大值为，

所以对任意的，，即.

综上，是对于任意的，均有的充要条件.

【设计意图】该题是对1.4.2例4的巩固，让学生体会数学的严谨性，提升逻辑思维能力，也感受常用逻辑用语在数学推理中的作用.

问题7：全称量词和存在量词都有哪些？你能写出全称量词命题和存在量词命题的形式吗？用什么方法可以证明一个全称量词命题是假命题？回忆一下，你掌握了判断和证明全称量词命题和存在量词命题的真假性的方法了吗？如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？

【设计意图】通过问题帮助学生回忆全称量词命题和存在量词命题的结构，以及判断和证明全称量词命题和存在量词命题的真假性的方法，包括全称量词命题和存在量词命题的否定.梳理所学知识，形成对问题的完整认识.

例7.（1）下列语句不是全称量词命题的是（   ）

A.任何一个实数乘以0都等于0；

B.平面直角坐标系下每条直线都与轴相交；

C.高一（1）班绝大多数同学是共青团员；

D.平行四边形的对角线互相平分.

(2)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是（    ）

A.∀x∉R，x2≠x   B.∀x∈R，x2=x

C.∃x∉R，x2＝x  D.∃x∈R，x2＝x

【预设答案】（1）C    （2）D

【设计意图】通过具体例题，帮助学生更好地复习并提高运用所学知识解决问题的能力.

3.小结延伸

通过本节课的复习，思考下列问题：

　　（1）本章所学内容包含了哪些知识点？你能画出知识结构图吗？

（2）数轴和Venn图在解决集合问题中有什么作用呢？

（3）类比数的运算，你还能定义集合其他的运算吗？能给出两个集合的差的定义吗？

（4）你能从集合的角度分析充分条件、必要条件和充要条件及命题和命题的否定吗？

【设计意图】呼应本节课开始的内容，帮助学生建立知识网络，强化类比和联系的学习观点.

四、布置作业

复习参考题1